Conjunto potência (ou conjunto de partes)
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Conjunto potência (ou conjunto de partes)
"Mostre que se A contém n elementos então P(A) contém 2^n elementos".
Gostaria de saber uma explicação, na linguagem matemática, para esta afirmação, pois fui em diversos sites e somente achei uma explicação através da árvore de possibilidades. Fiquei sabendo que tinha algo a ver com o axioma da potência, porém não consegui compreender bem.
Gostaria de saber uma explicação, na linguagem matemática, para esta afirmação, pois fui em diversos sites e somente achei uma explicação através da árvore de possibilidades. Fiquei sabendo que tinha algo a ver com o axioma da potência, porém não consegui compreender bem.
Última edição por DevilZ em Sex 11 maio 2018, 00:06, editado 1 vez(es)
DevilZ- Iniciante
- Mensagens : 3
Data de inscrição : 23/02/2018
Idade : 24
Localização : São Paulo, SP, Brasil
Re: Conjunto potência (ou conjunto de partes)
Vamos dar um exemplo numérico, para você entender:
Seja A = {2, 4, 6} ---> n = 3
Lembre-se que o subconjunto vazio Ø é subconjunto de A
Número de elementos do conjunto de partes de A ---> n[P(A)] = 2n = 2³ = 8
Eis os 8 elementos:
Ø, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}
Seja A = {2, 4, 6} ---> n = 3
Lembre-se que o subconjunto vazio Ø é subconjunto de A
Número de elementos do conjunto de partes de A ---> n[P(A)] = 2n = 2³ = 8
Eis os 8 elementos:
Ø, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73182
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
Re: Conjunto potência (ou conjunto de partes)
Entendido! Muito obrigado!
Se me permite, tenho mais dúvida: há alguma explicação pra se chegar ao 2^n? Em outras palavras, como chego a essa conclusão, sem o método de tentativa, mas por alguma lógica matemática? Penso que o 2 tenha alguma coisa haver com as duas possibilidades do elemento (de estar ou não contido, no conjunto), mas não tenho certeza se tem algo haver.
Se me permite, tenho mais dúvida: há alguma explicação pra se chegar ao 2^n? Em outras palavras, como chego a essa conclusão, sem o método de tentativa, mas por alguma lógica matemática? Penso que o 2 tenha alguma coisa haver com as duas possibilidades do elemento (de estar ou não contido, no conjunto), mas não tenho certeza se tem algo haver.
DevilZ- Iniciante
- Mensagens : 3
Data de inscrição : 23/02/2018
Idade : 24
Localização : São Paulo, SP, Brasil
Re: Conjunto potência (ou conjunto de partes)
Sim, é bem fácil. Basta usar Binômio de Newton: Vou mostrar para este caso
(a + b)³ ---> Fazendo a = b = 1 ---> (1 + 1)³ = 2³ = 8
(a + b)n = 2n
(a + b)³ ---> Fazendo a = b = 1 ---> (1 + 1)³ = 2³ = 8
(a + b)n = 2n
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73182
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
Re: Conjunto potência (ou conjunto de partes)
Dúvidas esclarecidas, muitíssimo obrigado!
DevilZ- Iniciante
- Mensagens : 3
Data de inscrição : 23/02/2018
Idade : 24
Localização : São Paulo, SP, Brasil
Re: Conjunto potência (ou conjunto de partes)
Explicando com mais detalhes:
Note que (a + b)³ = 1.a³ + 3.a².b + 3.a.b² + 1.b³
Estes números em vermelho vem de:
C(3, 0) = 1 ---> C(3, 1) = 3 ---> C(3, 2) = 3 ---> C(3, 3) = 1
Fazendo a = b = 1 ---> (1 + 1)³ = 1 + 3 + 3 + 1 = 2³
Isto significa que:
a) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 0 a 0 ---> Isto é o conjunto vazio Ø ---> 1
b) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 1 a 1 ---> Isto é {2}, {4}, {6} ---> 3
c) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 2 a 2 ---> Isto é {2, 4}, {2, 6}, {4, 6} ---> 3
d) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 3 a 3 ---> Isto é o conjunto {2, 4, 6} ---> 1
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³
E isto vale para qualquer expoente, inclusive n
Note que (a + b)³ = 1.a³ + 3.a².b + 3.a.b² + 1.b³
Estes números em vermelho vem de:
C(3, 0) = 1 ---> C(3, 1) = 3 ---> C(3, 2) = 3 ---> C(3, 3) = 1
Fazendo a = b = 1 ---> (1 + 1)³ = 1 + 3 + 3 + 1 = 2³
Isto significa que:
a) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 0 a 0 ---> Isto é o conjunto vazio Ø ---> 1
b) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 1 a 1 ---> Isto é {2}, {4}, {6} ---> 3
c) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 2 a 2 ---> Isto é {2, 4}, {2, 6}, {4, 6} ---> 3
d) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 3 a 3 ---> Isto é o conjunto {2, 4, 6} ---> 1
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³
E isto vale para qualquer expoente, inclusive n
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73182
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
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