Base média

por possamei Dom 22 Abr 2018, 21:59

Em um triangulo retangulo ABC, reto em B, exteriormente traça-se um triangulo equilátero BCD. Ache a distancia entre os pobpon medios de BD e AC, se AD=α.

por **Elcioschin** Seg 23 Abr 2018, 19:08

Vou começar:

Seja um sistema xOy com B na origem, C no eixo x e A no eixo y
Seja M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD
Seja BC = a e BA = c

BDC é equilátero ---> BD = CD = BC ---> BD = CD = a --->
B^CD = B^DC = C^BD = 60º

AM = CM ---> Ponto M(a/2, c/2)

BN = CN = BD/2 --> BN = CN = a/2

xN = BN.cosC^BD ---> xN = (a/2).cos60º ---> xN = a/4
yN = BN.senC^BD ---> yN = (a/2).sen60º ---> yN = a.√3/4 ---> N(a/4, a.√3/4)

Lei dos cossenos no triângulo ABD ---> AD² = BD² + AB² - 2.BD.AB.cos(90º + 60º)

α² = a² + c² - 2.a.c.cos(150º) ---> α² = a² + c² + a.c.√3

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