Base média da base média da base média

Em um triângulo de base BC e vértices A, B e C, tem-se os pontos:

M1 ponto médio de AB, M2 ponto médio de AM1, ..., Mn ponto médio de AMn-1 (com o 1, 2, n e n-1 em subescrito)

N1 ponto médio de AC, N2 ponto médio de AN1, ..., Nn ponto médio de ANn-1 (com o 1, 2, n e n-1 em subescrito).

i) Prove que M1N1 + M2N2 + ... + MnNn =

ii) Conclua que  (de n=1 até o infinito) MnNn = BC

OBS: M1N1 é a base média do triângulo ABC em relação à base BC, M2N2 seria a base média da base média, M3N3 seria a base média da base média da base média e assim por diante.

Como resolvo a questão?

Uma dica para você pensar:

M1N1, M2N2, M3N3 ... MnNn constituem uma PG infinita decrescente, com 1º termo a1 = MN e razão q = 1/2

∑ = a1/(1 - q) ---> ∑ = MN/(1 - 1/2) ---> ∑ = 2.MN

acontece que MN é base média --> MN = BC/2 ---> BC = 2.MN

∑ = BC