Qual será o montante?

Um investidor inicia uma poupança com $ 20.000,00. No segundo mês faz um depósito de $ 15.000,00. No terceiro mês faz uma retirada de $ 5.000,00. No quarto mês faz outro depósito de $ 10.000,00. Tudo conforme o fluxo de caixa abaixo.



Considerando que a taxa mensal de juros compostos é de 0,5%, qual será o montante ao final do quinto mês?

R: $ 40.731,03

Luiz 2017 escreveu:

Um investidor inicia uma poupança com $ 20.000,00. No segundo mês faz um depósito de $ 15.000,00. No terceiro mês faz uma retirada de $ 5.000,00. No quarto mês faz outro depósito de $ 10.000,00. Tudo conforme o fluxo de caixa abaixo.



Considerando que a taxa mensal de juros compostos é de 0,5%, qual será o montante ao final do quinto mês?

R: $ 40.731,03

Solução

A solução didática é a utilização da equação geral do valor futuro de série antecipada, à juros compostos, que se aplica a qualquer número de períodos:

\\\small{FV = PMT_1\cdot(1+i)^{n-k_1+1} + PMT_2\cdot(1+i)^{n-k_2+1} + PMT_3\cdot(1+i)^{n-k_3+1}
\small{+ ... + PMT_{n-1}\cdot(1+i)^{n-k_{n-1}+1} + PMT_n\cdot(1+i)^{n-k_n+1}}

Com:

Movimentações ($):
PMT₁ = valor da 1ª movimentação = +20.000 (depósito)
PMT₂ = valor da 2ª movimentação = +15.000 (depósito)
PMT₃ = valor da 3ª movimentação = -5.000 (retirada)
PMT₄ = valor da 4º movimentação = +10.000 (depósito)

Períodos (meses):
k₁ = período onde ocorreu a 1ª movimentação = 1 (início do mês 1)
k₂ = período onde ocorreu a 2ª movimentação = 3 (final do mês 2 = início do mês 3)
k₃ = período onde ocorreu a 3ª movimentação = 4 (final do mês 3 = início do mês 4)
k₄ = período onde ocorreu a 4ª movimentação = 5 (final do mês 4 = início do mês 5)
n = número total de períodos (capitalizações) = 5

Taxa = 0,005 a.m.

FV = ?

Portanto, para o presente caso, a equação geral se resume a:

\\\small{FV = PMT_1\cdot(1+i)^{n-k_1+1} + PMT_2\cdot(1+i)^{n-k_2+1} + PMT_3\cdot(1+i)^{n-k_3+1} }
\small + PMT_4\cdot(1+i)^{n-k_4+1}}

Substituindo valores:

\small{FV = 20000\cdot(1+0,005)^{5-1+1} + 15000\cdot(1+0,005)^{5-3+1} - 5000\cdot(1+0,005)^{5-4+1}}
\small{ + 10000\cdot(1+0,005)^{5-5+1}}

Obs: note que como a 3ª movimentação foi uma retirada, o seu valor entra na equação com o sinal negativo, afinal, como indica o fluxo de caixa.

\small{FV = 20000\cdot(1,005)^5 + 15000\cdot(1,005)^3 - 5000\cdot(1,005)^2 + 10000\cdot(1,005)^1}

FV = 20505,02506 + 15226,12688 - 5050,125 + 10050

\boxed{FV = \$\;40.731,03}

Luiz 2017 escreveu:

Um investidor inicia uma poupança com $ 20.000,00. No segundo mês faz um depósito de $ 15.000,00. No terceiro mês faz uma retirada de $ 5.000,00. No quarto mês faz outro depósito de $ 10.000,00. Tudo conforme o fluxo de caixa abaixo.



Considerando que a taxa mensal de juros compostos é de 0,5%, qual será o montante ao final do quinto mês?

R: $ 40.731,03

Outra solução (tipo "macete"):

Capitaliza-se o 1º e o 2º depósito até o mês 3. Soma-se essas duas parcelas e subtrai-se os 5.000,00. O resultado desta operação capitaliza-se até o mês 5. Capitaliza-se também o 3º depósito até o mês 5. Soma-se essas duas últimas capitalizações e obtém-se o resultado procurado (será que todos os interessados no assunto entenderam esse raciocínio?). Vamos em frente:

\\\small{PV = \left[ 20000(1+0,5\%)^3 + 15000(1+0,5\%)^1 -5000 \righgt](1+0,5\%)^2 + 10000(1+0,5\%)^1

PV = \left[ 20301,5025 + 15075 - 5000 \righgt](1,005)^2 + 10000(1,005)^1

PV = 30376,5025 \times 1,010025 + 10050

PV = 30681,02694 + 10050

\boxed{FV = \$\;40.731,03}