Números complexos

por Loreti Qua 07 Fev 2018, 10:27

Bom dia amigos, não consegui fazer as duas questões abaixo:

1. No universo C, seja S o conjunto solução da equação (x^15-1)(x^12-1)=0. Qual é o número de elementos de S?

2. Se z= -√3/2-i/2 é uma das raízes cúbicas de um complexo w, escreva as raízes quartas de w^12 na forma algébrica.

Gabarito:
1. 24
2. 1;i;-1;-i

Obrigado!

por **Willian Honorio** Qua 07 Fev 2018, 17:58

1) Devemos buscar as soluções complexas:

$(x^{15}-1)(x^{12}-1)=0\Leftrightarrow x^{15}=1\rightarrow x=cis\left (\frac{2.k.\pi }{15} \right )\,\,\,\vee \,\,\,x=cis\left (\frac{2.k.\pi }{12} \right )\\\\x=cis\left (\frac{2.k.\pi }{15} \right )|\,\,0\leq k\leq 14\\\\S_{1}=\left \{ cis0^{\circ},cis\left (\frac{2.\pi }{15} \right ),cis\left (\frac{4.\pi }{15} \right ),...,cis\left (\frac{28\pi }{15} \right ) \right \}\,\,cis0\,\text{n}\tilde{a}\text{o}\,\,\text{serve}\\\\\#S_{1}=14\\\\x=cis\left (\frac{2.k.\pi }{12} \right )|\,\,0\leq k\leq 11\\\\S_{2}=\left \{ cis0^{\circ},cis\left (\frac{\pi }{6} \right ),cis\left (\frac{\pi }{3} \right ),...,cis\left ( \pi \right ),...,cis\left (\frac{11\pi }{6} \right ) \right \}\\\#S_{2}=10\\cis\left ( \pi \right )\,e\,cis0\,\,\,cis0\,\text{n}\tilde{a}\text{o}\,\,\text{servem}\\\boxed{\#S_{1}+\#S_{2}=24}$

2)

$w.w.w=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\rightarrow w=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\\w=-1.cis\left (\frac{\pi }{6} \right )\\w^{12}=(-1)^{12}.cis\left (\frac{\pi }{6} \right )^{12}=(-1)^{12}.cis\left (\frac{12.\pi }{6} \right )\Rightarrow w^{12}=v=1\\v^{4}=1 \Leftrightarrow w^{12}=cis\left (\frac{2k\pi }{4} \right )\Rightarrow w^{12}=1\,\,\vee w^{12}=-1\,\,\,\vee w^{12}=i\,\,\,\vee w^{12}=-i\\S=\left \{ 1,i,-1,-i \right \}$

Lembrando-lhe que só pode postar uma questão por tópico. Cuidado na próxima para que os moderadores não tranquem suas dúvidas aqui.

por Loreti Qua 28 Fev 2018, 21:05

Não consegui entender a resolução, o que significa esse "cis"?
Obrigado pelo aviso.

por **Willian Honorio** Qua 28 Fev 2018, 21:55

cis(a)=cos(a)+i.sen(a)
lzl.cis(a)= lzl[cos(a)+i.sen(a)]

''Cis'' é uma notação que facilita a escrita de números complexos na forma trigonométrica, economizando espaço. Resolvi o problema escrevendo todas as soluções possíveis no conjunto dos complexos, tanto do polinômio (x^12)-1=0 quanto do (x^15)-1=0, pelo 1.º Teorema de De Moivre. Posteriormente, eliminei as soluções reais por não atenderem às condições propostas pela questão.

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