Plano determinado por par de retas

por **Lucas Pedrosa.** Qua 24 Jan 2018, 18:37

Determinar a equação geral do plano que contém o seguinte par de retas:

\\r:\left\{\begin{matrix}x=&-3&+\;t\\y=&-t&\\z=& 4 &\end{matrix}\right.\;\;\;\;\;e\;\;\;s:\left\{\begin{matrix}\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{-2};z=0\end{matrix}\right.

Resposta:2x+2y+z+2=0

por **Willian Honorio** Qua 24 Jan 2018, 20:52

Lucas, darei algumas dicas que irão te ajudar. Caso não, fale que resolverei a questão completamente. Observe, primeiramente, que r e s são retas paralelas pois as componentes de seus vetores diretores são proporcionais. Sabemos,portanto, que um plano está determinado. Para calcular sua equação tome o vetor diretor de r (1,-1,0) e o ponto (-3,0,4) que pertence a ela. Tome também um outro ponto em (s) e calcule o vetor cuja origem é o ponto (-3,0,4) e a extremidade é ponto qualquer tomado em s. O produto vetorial entre o vetor diretor de r e o vetor que calculou anteriormente será o vetor normal ao plano. Tome um outro ponto qualquer em r ou s e calcule o valor de 'd' em a.x+b.y+c.z+d=0

por **Lucas Pedrosa.** Qua 24 Jan 2018, 21:07

Willian, não consegui acompanhar seu raciocínio. Não tinha pegado questões anteriores em que os vetores são paralelos. Poderia resolvê-la?

por **Willian Honorio** Qua 24 Jan 2018, 21:40

O problema está na construção da imagem e na afirmativa que as retas são paralelas, observe:

$r:\left\{\begin{matrix} x=-3+t & & \\ y=-t & & \\ z=4& & \end{matrix}\right.\\\\\vec{v}=(1,-1,0)\\\\P(-3,0,4)\,\,\in \,\,r\\\\s:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{-2},z=0\\\\\vec{w}=(2,-2,0)\\\boxed{\vec{w}=2.\vec{v}}\Rightarrow r\,//s\\\\\text{Impondo um ponto qualquer de s}:\\x=0\\\\\frac{0+2}{2}=\frac{y-1}{-2}\rightarrow y=-1\\\\Q(0,-1,0)$

Plano determinado por par de retas Planos13

$\vec{PQ}=Q-P=(3,-1,4)\\\vec{PQ}\times \vec{v}=\begin{vmatrix} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ 3&-1 &-4 \\ 1&-1 &0 \end{vmatrix}=-4.\vec{i}-4.\vec{j}-2\vec{k}=-2(2,2,1)\\\vec{n}=(2,2,1)\\a.x+.b.y+c.z+d=0\\2.x+2.y+z+d=0\\\text{Utilizando P}:\\2(-3)+0+4+d=0\\d=2\\\boxed{2.x+2.y+z+2=0}$