divisibilidade - 2

Prove que os números an e bn não são inteiros
(a) an = 1 + 1/2 +1/3 + ... + 1/n, com n > 1

(b) bn = 1/3 + 1/5 + ...+ 1/(2n + 1), com n > 0

@Edit.

Eu li "Prove que os números an e bn são inteiros

oiii boa tarde

não entendi o que pode estar errado. O enunciado é este mesmo.

(a)

Considere mmc(1, 2, 3, ..., n) = 2^k . m com m ímpar para n > 1 e k ≥ 1.

Suponha agora que 1 + 1/2 + ... + 1/n seja inteiro para para algum n > 1.

Somando todas as frações, temos:

t = 2^k . m/1 + [(2^k . m)/2]/(2^k . m) + ... + [(2^k . m)/n]/(n)

Onde t é inteiro.

Eu afirmo que o numerador de somente uma dessas parcelas tem que ser impar. Porque ?

Vai existir uma parcela cujo o numerador é divisível por 2^k (lembrando que 2^k é a maior potência que aparece no MMC), vamos chamar esse numerador de j. O próximo menor numerador que 2^k divide, seria 2j, mas ele não pode estar nessa parcela, pois se 2^k divide j, então 2^(k + 1) divide 2j, só que 2^k já é a maior potência de 2 que aparece no numerador.


Então eu vou ter n - 1 parcas par e 1 número ímpar no numerador, logo, a soma dessas parcelas no numerador tem que ser um número ímpar, digamos 2p - 1.

t = (2p - 1)/(2^k . m)

2^k não pode dividir 2p - 1, pois 2p - 1 é ímpar, logo, t não pode ser inteiro, portanto absurdo !.

Então an não pode ser inteiro para n > 1.

(b)

Seja mmc(3, 5, ..., 2n + 1) = 3^k . m, onde mdc(m, 3^k) = 1 para n > 0 e k ≥ 1.

Suponha que exista um n tal que aquela soma seja inteira.

Logo:

t = 1/3 + 1/5 + ..  + 1/(2n + 1) = [(3^k . m/3)]/(3^k . m) + [(3^k . m)/5]/(3^k . m) + ... + [(3^k . m)/(2n + 1)]/(3^k . m)

Afirmo que existe somente uma fração cujo o numerador é divisível por 3^k (a maior potência de 3 que aparece no MMC). Chame esse número que é divisível por 3^k de j. 2j também é divisível por 3^k, porém, 2j não pode participar dessa soma, pois 2j é par e não existe número par nessas parcelas. Então o próximo seria 3j, mas aí teríamos que 3^(k + 1) dividiria 3j, logo, 3j não faz parte dessa parcela.

Então eu teria que 3 dividiria, n - 1 parcelas mas não 1. Então aquela soma ficaria:

t = y/(3^k . m)

Onde y não é divisível por 3, mas 3^k é pelo menos 3, portanto, absurdo !

Logo, bn não pode ser inteiro para nenhum n.


Se ficou com dúvida em alguma parte, marque o trecho e mande