Qual a taxa proporcionada pelo fundo?

por Luiz 2017 Qui 11 Jan 2018, 12:52

Um "fundo de renda fixa" assegura, a quem aplica 60 parcelas mensais e iguais de $ 500,00, o resgate de um montante de $ 58.166,29 no final do 60º mês. Sabendo que a primeira aplicação é feita na data do contrato, calcular a taxa de rendimento proporcionada pelo fundo.

Obs: não encontrei gabarito.

por **Baltuilhe** Qui 11 Jan 2018, 13:57

Bom dia!

Dados:
Depósitos: $ 500,00
Quantidade: 60 mensais (antecipados)
Montante: $ 58.166,29
Taxa de rendimento: ?

Calculando:
\\\displaystyle{FV=PMT\cdot\left[\dfrac{\left(1+i\right)^{n}-1}{i}\right]}\cdot\left(1+i\right)\\\\\displaystyle{58\,166,29=500\cdot\left[\dfrac{\left(1+i\right)^{60}-1}{i}\right]}\cdot\left(1+i\right)\\\\\displaystyle{i\cdot 58\,166,29=500\cdot\left[\left(1+i\right)^{61}-\left(1+i\right)\right]}\\\\\displaystyle{f(i)=i\cdot 58\,166,29-500\cdot\left[\left(1+i\right)^{61}-\left(1+i\right)\right]}

Ao substituir 1% e 3% verificamos que o valor da função é f(1%)<0 e f(3%)>0, portanto, há uma raiz entre 1% e 3%.
Abaixo, o quadro usando o método da secante (iterativo) para obter a raiz.
\\\phi\left(i_{k+1}\right)=\dfrac{i_k\cdot f\left(i_{k+1}\right)-i_{k+1}\cdot f\left(i_k\right)}{f\left(i_{k+1}\right)-f\left(i_k\right)}

n	i	f(i)
-1	1,0000%	169,231067
0	3,0000%	-774,186899
1	1,3588%	158,173526
2	1,6372%	114,054177
3	2,3570%	-188,034761
4	1,9090%	35,301114
5	1,9798%	8,256892
6	2,0014%	-0,575951
7	2,0000%	0,008356
8	2,0000%	0,000008
9	2,0000%	0,000000

Espero ter ajudado! Smile

por Luiz 2017 Qui 11 Jan 2018, 15:32

baltuilhe escreveu:Bom dia!

Dados:
Depósitos: $ 500,00
Quantidade: 60 mensais (antecipados)
Montante: $ 58.166,29
Taxa de rendimento: ?

Calculando:
\\\displaystyle{FV=PMT\cdot\left[\dfrac{\left(1+i\right)^{n}-1}{i}\right]}\cdot\left(1+i\right)\\\\\displaystyle{58\,166,29=500\cdot\left[\dfrac{\left(1+i\right)^{60}-1}{i}\right]}\cdot\left(1+i\right)\\\\\displaystyle{i\cdot 58\,166,29=500\cdot\left[\left(1+i\right)^{61}-\left(1+i\right)\right]}\\\\\displaystyle{f(i)=i\cdot 58\,166,29-500\cdot\left[\left(1+i\right)^{61}-\left(1+i\right)\right]}

Ao substituir 1% e 3% verificamos que o valor da função é f(1%)<0 e f(3%)>0, portanto, há uma raiz entre 1% e 3%.
Abaixo, o quadro usando o método da secante (iterativo) para obter a raiz.
\\\phi\left(i_{k+1}\right)=\dfrac{i_k\cdot f\left(i_{k+1}\right)-i_{k+1}\cdot f\left(i_k\right)}{f\left(i_{k+1}\right)-f\left(i_k\right)}

n i f(i)
-1 1,0000% 169,231067
0 3,0000% -774,186899
1 1,3588% 158,173526
2 1,6372% 114,054177
3 2,3570% -188,034761
4 1,9090% 35,301114
5 1,9798% 8,256892
6 2,0014% -0,575951
7 2,0000% 0,008356
8 2,0000% 0,000008
9 2,0000% 0,000000
Espero ter ajudado!

Obviamente que você não é adivinho. Então qual critério adotou para escolher como valores iniciais 2% e 3%? Já conhecia a resposta?

por **Baltuilhe** Qui 11 Jan 2018, 15:36

Luiz, boa tarde!

Como pode verificar, testei os valores 1% e 3% na função f(i), e depois 'refinei' o resultado até chegar na resposta, 2% Smile

Informei da seguinte forma: "... Ao substituir 1% e 3% verificamos que o valor da função é f(1%)<0 e f(3%)>0, portanto, há uma raiz entre 1% e 3% (função contínua)..."

Mas estou aqui 'matutando' uma teoria para nos auxiliar no 'arbitramento' da taxa inicial, já que essas funções sempre tem o mesmo formato (curva).

Abraços!!!

por Luiz 2017 Qui 11 Jan 2018, 15:51

baltuilhe escreveu:Luiz, boa tarde!

Como pode verificar, testei os valores 1% e 3% na função f(i), e depois 'refinei' o resultado até chegar na resposta, 2%
Informei da seguinte forma: "... Ao substituir 1% e 3% verificamos que o valor da função é f(1%)<0 e f(3%)>0, portanto, há uma raiz entre 1% e 3% (função contínua)..."

Mas estou aqui 'matutando' uma teoria para nos auxiliar no 'arbitramento' da taxa inicial, já que essas funções sempre tem o mesmo formato (curva).

Abraços!!!

Mas você não respondeu: qual critério adotou para escolher como valores iniciais justamente 2% e 3% sendo que a resposta está entre estes dois valores? Uma hipótese plausível: você já conhecia o exercício e sua resposta.

por **Baltuilhe** Qui 11 Jan 2018, 16:03

Luiz, boa tarde!

Conforme respondi anteriormente, testei os valores 1% e 3% e verifiquei que f(1%)<0 (função negativa) e f(3%)>0 (função positiva), assegurando entre as taxas de 1% e 3% existir uma resposta.

Se o exercício fosse diferente, iria testar outras taxas até encontrar uma faixa que tivesse o mesmo comportamento. Não sabia a resposta a priori, mas fui atrás dela de forma 'grosseira', ou seja, testando valores.

Espero ter respondido Smile

Abraços!

por **jota-r** Qui 11 Jan 2018, 17:05

baltuilhe escreveu:Luiz, boa tarde!

Conforme respondi anteriormente, testei os valores 1% e 3% e verifiquei que f(1%)<0 (função negativa) e f(3%)>0 (função positiva), assegurando entre as taxas de 1% e 3% existir uma resposta.

Se o exercício fosse diferente, iria testar outras taxas até encontrar uma faixa que tivesse o mesmo comportamento. Não sabia a resposta a priori, mas fui atrás dela de forma 'grosseira', ou seja, testando valores.

Espero ter respondido

Abraços!

Para o método de Newton, o Rihan sugere a estimativa: xo = 1 + 1/2n = (2n+1)/2n

Mas não sei se vale para qualquer função e tipo de série (postecipada e antecipada).

No caso deste exercício, teríamos: xo = (2*61+1)/(2*61) =1,008197.

Sds.

por Luiz 2017 Qui 11 Jan 2018, 18:17

baltuilhe escreveu:
Espero ter respondido

Abraços!

Você não respondeu.

Entre infinitos números, o que foi que levou você a escolher exatamente 1% e 3%?

Você poderia, ao acaso, por exemplo, ter escolhido 7% e 9%, e certamente encontraria outra solução.

Veja que a equação em que você recai é do 61º grau e, portanto, admite 61 raízes, sendo que só uma é a solução , as demais 60 não. E você, sem nenhum critério, num processo puramente adivinhatório, escolheu justamente 1% e 3%, que são os inteiros vizinhos mais próximos? Isto é humanamente impossível!

por Luiz 2017 Qui 11 Jan 2018, 18:35

jota-r escreveu:
baltuilhe escreveu:Luiz, boa tarde!

Conforme respondi anteriormente, testei os valores 1% e 3% e verifiquei que f(1%)<0 (função negativa) e f(3%)>0 (função positiva), assegurando entre as taxas de 1% e 3% existir uma resposta.

Se o exercício fosse diferente, iria testar outras taxas até encontrar uma faixa que tivesse o mesmo comportamento. Não sabia a resposta a priori, mas fui atrás dela de forma 'grosseira', ou seja, testando valores.

Espero ter respondido

Abraços!

Para o método de Newton, o Rihan sugere a estimativa: xo = 1 + 1/2n = (2n+1)/2n

Mas não sei se vale para qualquer função e tipo de série (postecipada e antecipada).

No caso deste exercício, teríamos: xo = (2*61+1)/(2*61) =1,008197.
Sds.

Este parece ser bem preciso:

\boxed{ i_0 = \frac{FV}{PMT\cdot n^2} - \frac{PMT}{FV} }

Substituindo valores:

i_0 = \frac{58166,29}{500 \cdot 60^2} - \frac{500}{58166,29}

i_0 = 0,032314605 - 0,008596044

i_0 = 0,02371856

\boxed{ i_0 \approx 2,37\%}

Que é um valor bem mais próximo do resultado, que é 2%.