Qual a taxa de remuneração do fundo?

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Qual a taxa de remuneração do fundo?

Mensagem por Luiz 2017 em Dom Jan 14 2018, 17:20

Para formar um montante de $ 800 mil em 3 anos aplica-se em um fundo $ 6.715,87 mensalmente. Qual a taxa de remuneração mensal do fundo?

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Re: Qual a taxa de remuneração do fundo?

Mensagem por Matheus Vilaça em Dom Jan 14 2018, 19:04

Olá Luiz,

Para o início de cada um dos meses, temos:
1º mês) 6715,87
2º mês) 6715,87*(1+i) + 6715,87
3º mês) [6715,87*(1+i) + 6715,87]*(1+i) + 6715,87
.
.
.
36º mês) 6715,87*(1+i)^35 + 6715,97*(1+i)^34 + ... + 6715,87

Para o final do 36º mês, em que há a valorização de todo o dinheiro depositado no último mês, temos:

Valor Total = (1+i)*[6715,87*(1+i)^35 + 6715,97*(1+i)^34 + ... + 6715,87]

Perceba que a expressão entre os colchetes é uma PG de razão (1+i). Portanto, a soma desses termos será:

Soma = {6715,87*[(1+i)^36 -1]}/{(1+i)-1}

Logo, o valor total será:
Valor Total = (1+i)*{6715,87*[(1+i)^36 -1]}/{(1+i)-1} = 800000

Chamando (1+i) de x, temos:
x^37-x=(x-1)*119,1208287
(x^37)-(120,1208287*x) + 119,1208287 = 0

Jogando nesse site (http://www.calculadoraonline.com.br/equacao-polinomial - calculadora de equações polinomiais), você irá obter duas soluções reais. A única solução coerente é aquela que tiver um valor maior do que 1 (i>0). Assim:

x=1.057457530717315
i=5,745%
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Re: Qual a taxa de remuneração do fundo?

Mensagem por Luiz 2017 em Dom Jan 14 2018, 22:15

@Matheus Vilaça escreveu:Olá Luiz,

Para o início de cada um dos meses, temos:
1º mês) 6715,87
2º mês) 6715,87*(1+i) + 6715,87
3º mês) [6715,87*(1+i) + 6715,87]*(1+i) + 6715,87
.
.
.
36º mês) 6715,87*(1+i)^35 + 6715,97*(1+i)^34 + ... + 6715,87

Para o final do 36º mês, em que há a valorização de todo o dinheiro depositado no último mês, temos:

Valor Total = (1+i)*[6715,87*(1+i)^35 + 6715,97*(1+i)^34 + ... + 6715,87]

Perceba que a expressão entre os colchetes é uma PG de razão (1+i). Portanto, a soma desses termos será:

Soma = {6715,87*[(1+i)^36 -1]}/{(1+i)-1}

Logo, o valor total será:
Valor Total = (1+i)*{6715,87*[(1+i)^36 -1]}/{(1+i)-1} = 800000

Chamando (1+i) de x, temos:
x^37-x=(x-1)*119,1208287
(x^37)-(120,1208287*x) + 119,1208287 = 0

Jogando nesse site (http://www.calculadoraonline.com.br/equacao-polinomial - calculadora de equações polinomiais), você irá obter duas soluções reais. A única solução coerente é aquela que tiver um valor maior do que 1 (i>0). Assim:

x=1.057457530717315
i=5,745%


Olá.

Dados:

FV = 800.000,00
PMT = 6.715,87
n = 36 meses
i = ?

Solução:

1) Pela equação de Baily:

h = \left( \frac{FV}{n\cdot PMT} \right) ^ {\frac{2}{n-1}} - 1

h = \left( \frac{800000}{36\cdot 6715,87} \right) ^ {\frac{2}{36-1}} - 1

h = 3,3089 ^ {0,05714} - 1

h = 0,070767

i = h\cdot \left[ \frac{12+(n+1)h} {12+2(n+1)h} \right]

i = 0,070767\cdot \left[ \frac{12+(36+1)0,070767} {12+2(36+1)0,070767} \right]

i = 0,070767\cdot \frac{14,618379} {17,236758}

i = 0,070767\cdot 0,848093

i = 0,060017

\boxed{i \approx 6,00\%\;a.m.}

2) Pelo método de Newton:

Equação geral de juros para o valor futuro de série uniforme postecipada:

FV = PMT \cdot \frac {(1+i)^n - 1}{i}

Substituindo valores:

800000 = 6715,87 \cdot \frac {(1+i)^{36} - 1}{i}

119,121\cdot i =  (1+i)^{36} - 1

(1+i)^{36} - 119,121\cdot i - 1 = 0

Portanto, conforme já mostrado aqui https://pir2.forumeiros.com/t143415-calculo-da-taxa-com-o-metodo-de-newton :

f(i_0) = (1+i_0)^{36} - 119,121\cdot i_0 - 1

f'(i_0) = 36\cdot(1+i_0)^{35} - 119,121

i_1 = i_0 - \frac{f(i_0)}{f'(i_0)}

i_0 =  0,10000000000000000
i_1 =  0,06792726516723630
i_2 =  0,06108961999416351
i_3 =  0,06003614142537117
i_4 =  0,06000019237399101

\boxed{i \approx 6,00\%\;a.m.}

3) Pela HP-12C:

https://epxx.co/ctb/hp12c.html

\boxed{f}\;\boxed{FIN}
36 \;\boxed{n}
6715,87 \;\boxed{PMT}
800000 \;\boxed{CHS}\;\boxed{FV}
\boxed{i}\;6,00001

\boxed{i \approx 6,00\%\;a.m.}

4) Pelo Wolfram-Alpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+(1%2Bx)%5E(36)-119.121*x-1%3D0

(1+i)^{36} - 119,121\cdot i - 1 = 0

i = 0,0600001}

\boxed{i \approx 6,00\%\;a.m.}

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