(Unicamp - SP) Inequação

por Jessie Qua 03 Jan 2018, 18:45

Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) = ax + 3a e g(x) = 9 -2x, definidas para todo número real x.

A) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x)>0.

B) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) = g(f(x)), para todo número real x.

por Gui Soares Qua 03 Jan 2018, 19:06

a) Para que f(x).g(x)>0, temos:
Ou f(x) e g(x) são maiores que zero
Ou f(x) e g(x) são menores que zero
f(x)>0
ax+3a>0
a(x+3)>0
x+3>0 => x>-3

f(x)<0
a(x+3)<0
x+3<0
x<-3

g(x)>0
9-2x>0
2x<9
x<9/2

g(x)<0
9-2x<0
x>9/2

Portanto, para que f(x).g(x) seja maior que zero, x tem que estar em um intervalo de -3 a 9/2 ( 3 < x < 9/2 ). As soluções inteiras da inequação seriam: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, totalizando 7 soluções.

B)
f(g(x))= a(9-2x)+3a= 9a-2xa+3a= 12a-2xa
g(f(x))= 9-2(ax+3a)=9-2ax-6a
igualando:
12a-2xa=9-2xa-6a
18a=9
a=1/2