Desigualdade com reais positivos

por superaks Sex 29 Dez 2017, 21:42

Sendo a, b e c reais positivos com:

a + b + c = 3

Prove que:

\dfrac{(a^3 + 1)^4}{(a^2 + 1)^2}+\dfrac{(b^3 + 1)^4}{(b^2 + 1)^2}+\dfrac{(c^3 + 1)^4}{(c^2 + 1)^2}\geq12

por **Willian Honorio** Dom 31 Dez 2017, 01:05

Superaks, infelizmente não consegui. Talvez com o que eu tentei você desenvolva melhor, que é o lema:

$\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{x+y}\leq \frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}$

por superaks Dom 31 Dez 2017, 16:22

Obrigado pela resposta Willian !

É o que eu pensei em usar. O lema de Titu e a desigualdade entre a média quadrática e a média aritmética, mas não consegui resolver. Se eu conseguir algo postarei aqui.

Valeu !

por superaks Dom 31 Dez 2017, 16:49

Parando para pensar um pouco, se a média cúbica for maior ou igual que a média quadrática, então dá para provar. Mas não sei se isso é realmente vale ou não ou não.

Sabe me dizer se a média cúbica é maior ou igual a média quadrática ?

por **Willian Honorio** Dom 31 Dez 2017, 17:09

Possuo estorvo para demonstrar tal afirmação, e também não conheço nenhum teorema ou resultado que corrobora o que diz, logo, prefiro não afirmar isso. O pouco que conheço sobre desigualdades é justamente a ''desigualdade das médias'' . Para mim, a dificuldade está em a,b e c números reais positivos. Enfim, prefiro esperar um colega mais qualificado resolver a questão.

por superaks Dom 31 Dez 2017, 17:46

Obrigado pela resposta Willian !

Se isso for verdade seria um fato bem forte. Isso remete a outra pergunta.

Até que ponto para um n inteiro positivo e x1, x2, x3, ..., xk reais positivos, temos que:

\sqrt[n]{\dfrac{x_1^n+x_1^n+x_3^n+...+x_k^n}{k}}\geq\sqrt[n-1]{\dfrac{x_1^{n-1}+x_2^{n-1}+x_3^{n-1}+...+x_k^{n-1}}{k}}

Vou ver se consigo encontrar algo.

Valeu !

por **Willian Honorio** Dom 31 Dez 2017, 17:54

Muito legal, Superaks. Se concluir algo, peço que demonstre a todos os colegas pois pode ser útil.

Um abraço.

por superaks Dom 31 Dez 2017, 21:24

É válido sim.

Em geral:

M_p\geq M_q

Para todo p e q real com p > q.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Generalized_mean

Obrigado pela ajuda e um feliz 2018 ! Very Happy

por superaks Seg 01 Jan 2018, 15:39

Pelo lema de Titu, temos que:

\dfrac{[(a^3+1)^2]^2}{(a^2+1)^2}+\dfrac{[(b^3+1)^2]^2}{(b^2+1)^2}+\dfrac{[(c^3+1)^2]^2}{(c^2+1)^2}\geq \dfrac{[(a^3+1)^2+(b^3+1)^2+(c^3+1)^2}{(a^2+1)^2+(b^2+1)^2+(c^2+1)^2}
Encontrando um intervalo para o denominador:

Pela média quadrática e a média aritmética, temos:

\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq\dfrac{a+b+c}{3}=1\\\\\\a^2+b^2+c^2\geq 3

Portanto:

\sqrt{\dfrac{(a^2+1)^2+(b^2+1)^2+(c^2+1)^2}{3}}\geq\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{3}\geq2\\\\\\(a^2+1)^2+(b^2+1)^2+(c^2+1)\geq12

Encontrando um intervalo para o numerador:

Pela média cúbica e a média quadrática, temos que:

\sqrt[3]{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}}\geq\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq 1\\\\\\a^3+b^3+c^3\geq 3

Logo:

\sqrt{\dfrac{(a^3+1)^2+(b^3+1)^2+(c^3+1)^2}{3}}\geq\dfrac{a^3+b^3+c^3+3}{3}\geq2\\\\\\(a^3+1)^2+(b^3+1)^2+(c^3+1)^2\geq12

Nossa desigualdade fica:

\dfrac{[(a^3+1)^2+(b^3+1)^2+(c^3+1)^2]^2}{(a^2+1)^2+(b^2+1)^2+(c^2+1)^2}\geq\dfrac{12^2}{12}=12

Portanto:

\dfrac{(a^3+1)^4+(b^3+1)^4+(c^3+1)^4}{(a^2+1)^2+(b^2+1)^2+(c^2+1)^2}\geq12

Como queriamos provar.