Inequação logarítmica

por jose16henrique campos de Sáb 02 Dez 2017, 11:33

\log_{2}(2^{x}-1) • \log_{\frac{1}{2}}(2^{x+1}-2)>-2

A solução do livro é \log_{2}(\frac{5}{4})< x < \log_{2}3

Porém to encontrando \log_{2}3 < x < \log_{2}5
Poderia me ajudar ?

por evandronunes Sáb 02 Dez 2017, 12:47

Temos:

\log_{2}(2^{x}-1) \log_{\frac{1}{2}}(2^{x+1}-2) < -2

\log_{2}(2^{x}-1) \cdot \frac{\log_{2}(2^{x+1}-2)}{\log_{2}\frac{1}{2}} < -2

\log_{2}(2^{x}-1) \cdot \frac{\log_{2}[2 \cdot (2^x-1)]}{-1} < -2

\log_{2}(2^{x}-1) \cdot [\log_{2}2 + \log_{2} (2^x-1)] > 2

\log_{2}(2^{x}-1) \cdot [1 + \log_{2} (2^x-1)] > 2

[\log_{2}(2^{x}-1)]^2 + \log_{2} (2^x-1) -2 > 0

Seja a= \log_{2} (2^x-1) , assim:

a^2 + a -2 > 0 .

Cuja solução é -2 < a < 1.

Portanto,

-2 < \log_{2} (2^x-1) < 1

2^{-2} < 2^x-1 < 2^1

\frac{1}{4} + 1 < 2^x < 2 +1

\frac{5}{4} < 2^x < 3

\log_{2} \left ( \frac{5}{4} \right ) < x < \log_{2}3

por matheus__borges Sáb 02 Dez 2017, 13:07

\log_{\frac{1}{2}}(2^{x+1}-2)= \log_{\frac{1}{2}}2(2^{x}-1)= -\log_{2}2-\log_{2}(2^{x}-1)

\log_{2}(2^{x}-1)=y\rightarrow y(-1-y)> -2\rightarrow -y^{2}-y+2> 0 \rightarrow -2< y< 1\rightarrow-2< \log_{2}(2^{x}-1)< 1\rightarrow\log_{2}(\frac{1}{4})< \log_{2}(2^{x}-1)< \log_{2}(2)

  \frac{5}{4}< 2^{x}< 3

   \log_{2}\frac{5}{4}< x\log_{2}2< \log_{2}3

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