Inequação logarítmica

por jose16henrique campos de Qua 29 Nov 2017, 08:17

\frac{1}{\log_{2}x}-\frac{1}{\log_{2}x -1}< 1

O livro diz que a solução é {02} mas não encontro nenhuma dessas soluções, alguém poderia por favor me ajudar?

por JEABM Qua 29 Nov 2017, 10:46

Tem ctz q o gabarito é 2? Pq se jogar no enunciado terá 1/0 e n existe...

por JEABM Qui 30 Nov 2017, 10:59

Alguém consegue fazer?

por matheus__borges Sex 01 Dez 2017, 20:28

É evidente que temos que ter x\neq 1\cap x\neq 2
\log_{2}x=y
\frac{1}{y}-\frac{1}{y-1}< 1
Usando conceitos de frações equivalente.
\frac{(y-1)}{y(y-1)}-\frac{y}{y(y-1)}< \frac{y(y-1)}{y(y-1)}
\frac{-y^{2}+y-1}{y^{2}-y}< 0
Como o numerador tem delta negativo e coeficiente angular negativo qualquer y resultará em f(y)<0 , assim concluímos que para inequação ser válida temos que ter um denominador positivo.

y^{2}-y> 0\rightarrow y< 0\cup y>1
Mas \log_{2}x=y
\log_{2}x< \log_{2}1\cup \lg_{2}x> \log_{2}2\rightarrow 0< x<1 \cup x> 2
Acredito que seja assim.

por **Elcioschin** Sex 01 Dez 2017, 21:47

Alguns cuidados com as restrições

1) Logaritmando > 0
2) Denominador ≠ 0

1ª fração: 1/log₂x ---> x > 0 e x ≠ 1
2ª fração: 1/(log₂x - 1) ---> x > 0 , x ≠ 1 e x ≠ 2

Interseção ---> x > 0 e x ≠ 1 e x ≠ 2

Existe um pequeno erro na primeira fração da 5ª linha: não existe o y multiplicando no numerador. O correto é (y - 1)/y.(y - 1)

por matheus__borges Sex 01 Dez 2017, 22:16

Transcrevi errado, obrigado.
Mas não entendo porque meu resultado está errado, poderia explicar?
Pois o logaritmando está positivo e o denominador está diferente de 0, com x obedecendo a inequação.

por **Elcioschin** Sex 01 Dez 2017, 23:06

Eu não disse que seu resultado estava errado.
Disse apenas que:

Existia um y digitado errado na 1ª fração (e vc corrigiu)
Chamei a atenção de todos, para que, em problemas de logaritmos sempre devemos levar em contas as restrições, para não incorrermos em eventuais erros:

A única restrição referente a logaritmo foi x > 0 (não existe restrição referente à base do logaritmo)
Sua solução foi 0 < x < 1 e x > 2

Sua solução atende à restrição, logo está correta.
Mas em muitas questões as restrições reduzem o intervalo das soluções.

por JEABM Sáb 02 Dez 2017, 01:03

Obrigado!!!

por matheus__borges Sáb 02 Dez 2017, 01:47

Sim! Quando vi o x já coloquei isso em mente. Mas só ter mente não ajuda quem vai ler o tópico e também pode me induzir a esquecer e errar a questão. Muito obrigado pelo adendo!