Inequação Logarítmica

por Lucas Guedes Seg 25 Abr 2016, 13:55

$Resolva\ a\ inequa\c{c}\tilde{a}o:\ \left({1\over 5}\right)\log_{1\over 3}(x^2-4x+4)<{1\over 25}\\ \\ \\ O\ que\ fiz\ foi\ o\ seguinte:\ \\ \\ \bold{condi\c{c}\tilde{a}o\ de\ exist\hat{e}ncia:}\ x^2-4x+4>0\Leftrightarrow (x-2)^2>0\Leftrightarrow x\ne2\\ \\ Resolvendo\ a\ inequa\c{c}\tilde{a}o:\\ 25.\left({1\over 5}\right)\log_{1\over 3}(x^2-4x+4)<{1\over 25}.25\\ 5\log_{1\over 3}(x^2-4x+4)<1\\ 5\log_{1\over 3}(x-2)^2<1\\ 10\log_{1\over 3}(x-2)<1\\ \log_{1\over 3}(x-2)<{1\over 10}\\ \log_{1\over 3}(x-2)<\log_{1\over 3} \left ({1\over 3}\right)^{1\over 10}\\ \\ Como\ a\ base\ est\acute{a}\ entre\ 0\ e\ 1:\ 0<{1\over 3}<1,\ invertemos\ a\ rela\c{c}\tilde{a}o\\ x-2>{1\over 3^{1\over10}}\\ x>{1\over 3^{1\over10}}+2\\ x>{(1+2.3^{1\over10})\over 3^{1\over10}}.{3^{9\over10}\over3^{9\over10}}\\ x>{3^{9\over10}+2(3)\over3}\\ x>{6+\sqrt[10]{3^9}\over3}$

Gabarito:

por **Ashitaka** Seg 25 Abr 2016, 17:06

por **Christian M. Martins** Seg 25 Abr 2016, 17:13

É possível fazer isso com a base, Ashitaka? Shocked

por Lucas Guedes Seg 25 Abr 2016, 17:29

Obrigado pela atenção Ashitaka, mas, o seu resultado não confere com o gabarito. Talvez haja alguma errata na fonte do exercício (já conferi o que digitei), mas, se puder explicar essa diferença agradeço muito... Wink

por **Ashitaka** Seg 25 Abr 2016, 17:53

Christian, sim.

Lucas, seu gabarito está errado, caso essa seja a inequação a ser resolvida. O wolfram bate com a minha resposta também:
wolfram

por Lucas Guedes Seg 25 Abr 2016, 20:16

Okay. Muito obrigado Ashitaka.

por **Elcioschin** Seg 25 Abr 2016, 22:19

Outra solução para confirmar a do Ashitaka:

No 2º membro ---> log_1/3y = 1/5 ---> y = (1/3)^1/5 ---> y = 3^-1/5

log_1/3(x - 2)² < log_1/3(3^-1/5)

(x - 2)² > 3^-1/5 ---> (x - 2)² - 3^-1/5 > 0 --->

Temos uma parábola com a concavidade voltada para cima: as raízes positivas estão exteriormente ao intervalo entre as raízes:

x < 2 - 3^-1/10 ou x > 2 + 3^-1/10