Produto Notáveis

por FlavioMachado Dom 26 Nov 2017, 17:14

A expressão (a+b+c)^5 - (a+b-c)^5-(b+c-a)^5 - (c+a-b)^5 é igual a:
a)320abc(a²+b²+c²)
b)160abc(a²+b²+c²)
c)80abc(a²+b²+c²)
d)40abc(a²+b²+c²)
e)20abc(a²+b²+c²)

por **fantecele** Dom 26 Nov 2017, 20:22

$\\(a+b+c)^5=(c+a)^5+5.(c+a)^4.b+10.(c+a)^3.b^2+10.(c+a)^2.b^3+5.(c+a).b^4+b^5\\(c+a-b)^5=(c+a)^5-5.(c+a)^4.b+10.(c+a)^3.b^2-10.(c+a)^2.b^3+5.(c+a).b^4-b^5\\\\Subtraindo\,\,os\,\,dois:\\\\(a+b+c)^5-(c+a-b)^5=2.(5.(c+a)^4.b+10.(c+a)^2.b^3+b^5)\,\,\,\,(I)$

$\\-(a+b-c)^5=+(c-a-b)^5\\\\(c-a-b)^5=(c-a)^5-5.(c-a)^4.b+10.(c-a)^3.b^2-10.(c-a)^2.b^3+5.(c+a).b^4-b^5\\(c-a+b)^5=(c-a)^5+5.(c-a)^4.b+10.(c-a)^3.b^2+10.(c-a)^2.b^3+5.(c+a).b^4+b^5\\\\Subtraindo\,\,os\,\,dois:\\\\(c-a-b)^5-(c-a+b)^5=-2.(5.(c-a)^4.b+10.(c-a)^2.b^3+b^5)\,\,\,\,(II)$

Fazendo (I) + (II):

$\\\\(a+b+c)^5-(c+a-b)^5+(c-a-b)^5-(c-a+b)^5\\2.(5.(c+a)^4.b+10.(c+a)^2.b^3+b^5)-2.(5.(c-a)^4.b+10.(c-a)^2.b^3+b^5)\\2b(5((c+a)^4-(c-a)^4)+10b^2((c+a)^2-(c-a)^2))\\2b(5((c+a)^2-(c-a)^2((c+a)^2+(c-a)^2)+10b^2((c+a)^2-(c-a)^2))\\10b((4ac).(2c^2+2a^2)+2b^2.(4ac))\\80abc.(a^2+b^2+c^2)$

Produto Notáveis

Produto Notáveis

Re: Produto Notáveis

Um fórum livre e democrático.