Produto notáveis

por Lucio Anacleto Sáb 22 Abr 2023, 13:52

Para determinados valores reais a e b é válida a seguinte igualdade ( x - a ) ^ 2 - ( x - b) ^2 = -6x + 18, qualquer que seja x, também real. Dessa forma , qual é o valor de (a+b)/(a-b) ?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

por al171 Sáb 22 Abr 2023, 14:14

\[
\begin{align*}
(x-a)^2 - (x-b)^2 & = -6x + 18 \\
(x-a - (x-b) ) ( x- a + (x - b)) & = -6x + 18 \\
(b-a)(2x-a-b) & = -6x + 18 \\
2x(b-a) + (b-a)(-a-b) & = -6x + 18
\end{align*}
\]
Assim,
\[
\begin{cases}
2(b-a)= -6 \\
(b-a)(-a-b) = 18\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} b-a = -3 \\ -a -b = -6 \end{cases} \implies \frac{a+b}{a-b} = \frac{6}{3} = 2
\]
Resposta: c).

por Victor.A Sáb 22 Abr 2023, 14:37

Como fatoraste, sem elevar nenhum número ao quadrado?

por al171 Sáb 22 Abr 2023, 15:51

Tomando a diferença de quadrados entre os termos \( (x-a)^2 \) e \( (x-b)^2 \) de modo a simplificar a expressão até que se chegasse na forma
\[
\alpha x + \beta
\]
igualando a \( -6x + 18 \).