Plano e reta

Ufpe) Analise as seguintes afirmações:
( ) Existem dois planos distintos, passando ambos
por um mesmo ponto e perpendiculares a uma
mesma reta.
( ) Se dois planos forem perpendiculares, todo
plano perpendicular a um deles será paralelo ao
outro.
( ) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.
( ) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta
paralela a um deles será perpendicular ao outro.
( ) Uma reta paralela a duas retas concorrentes de
um plano é perpendicular a esse plano.  

Todas são falsas, alguém me explica isso pelo amor de Deus pq quando penso que tou entendendo essa matéria vem essa questão e complica tudo

Eu não tenho total certeza das explicações da 1ª e da 2ª afirmativa mas tentarei explicar.
A 1ª afirmativa pode estar falsa pois ao se interceptarem os planos formam uma reta que está contida em ambos os planos.

A 2ª afirmativa pode ser falsa pelo fato de existir planos coincidentes aos planos mencionados. Explicando melhor: O plano a é perpendicular ao b. Ao inserirmos planos perpendiculares ao b há planos que coincidem com o a, ou seja, não é paralelo ao a.

A 3ª afirmativa é falsa pois há duas formas de uma reta ser paralela a um plano: paralela ao comprimento do plano ou a largura. Dessa forma não serão paralelas.


A 4ª afirmativa é falsa porque uma possibilidade é a reta paralela a um dos planos também ser paralela ao outro plano. Ver o desenho acima (desenho válido pera a 3ª e 4ª questões). O que estou querendo explicar é mais ou menos assim.


a 5ª afirmativa é falsa por uma reta não poder ser paralela a duas concorrentes (tal reta só pode ser paralela a uma dessas retas). Além disso, se existisse tal reta paralela essa nunca seria perpendicular pois se fosse também seria perpendicular a uma das retas ou não haveria relação entre as retas da afirmação.

Alguém confirme se estou correto nas minhas conclusões, por favor.

Espero ter ajudado a clarear suas ideias.

Joel G. escreveu:Eu não tenho total certeza das explicações da 1ª e da 2ª afirmativa mas tentarei explicar.
A 1ª afirmativa pode estar falsa pois ao se interceptarem os planos formam uma reta que está contida em ambos os planos.

A 2ª afirmativa pode ser falsa pelo fato de existir planos coincidentes aos planos mencionados. Explicando melhor: O plano a é perpendicular ao b. Ao inserirmos planos perpendiculares ao b há planos que coincidem com o a, ou seja, não é paralelo ao a.

A 3ª afirmativa é falsa pois há duas formas de uma reta ser paralela a um plano: paralela ao comprimento do plano ou a largura. Dessa forma não serão paralelas.


A 4ª afirmativa é falsa porque uma possibilidade é a reta paralela a um dos planos também ser paralela ao outro plano. Ver o desenho acima (desenho válido pera a 3ª e 4ª questões). O que estou querendo explicar é mais ou menos assim.


a 5ª afirmativa é falsa por uma reta não poder ser paralela a duas concorrentes (tal reta só pode ser paralela a uma dessas retas). Além disso, se existisse tal reta paralela essa nunca seria perpendicular pois se fosse também seria perpendicular a uma das retas ou não haveria relação entre as retas da afirmação.

Alguém confirme se estou correto nas minhas conclusões, por favor.

Espero ter ajudado a clarear suas ideias.

: 
A 5ª afirmativa é verdadeira>>> Teorema Fundamental : " Uma condição necessária para que uma reta seja perpendicular a um plano é que forme o ângulo com duas retas concorrentes concorrentes do plano." 

( ) Existem dois planos distintos, passando ambos
por um mesmo ponto e perpendiculares a uma
mesma reta.

FALSO. Por simplificação ao nosso raciocínio, vamos pensar sobre o sistema ortonormal Oxyz e imagine que a reta citada é o eixo y. Perpendicular ao eixo y e passando pelo ponto A(1, 1, 0) temos o plano y=1. Qualquer outro plano perpendicular ao eixo y será obrigatoriamente paralelo a esse mas não conseguirá passar pelo ponto A.


( ) Se dois planos forem perpendiculares, todo
plano perpendicular a um deles será paralelo ao
outro.

FALSO. Tomemos novamente o sistema ortonormal Oxyz. Neste, os planos xOy e xOz são perpendiculares, porém o plano yOz é um terceiro plano e é perpendicular a ambos.

( ) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.

FALSO. Podem ser paralelas, concorrentes e até reversas. Novamente no Oxyz, pensemos em:
a) as retas y=x e y=x+1 são paralelas entre si e ao plano z=1.
b) as retas y=x e y=-x são paralelas ao plano z=1 mas são concorrentes;
c) as retas x=1 e {y=0 ; z=2} são reversas e ambas paralelas ao plano z=1.

( ) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta
paralela a um deles será perpendicular ao outro.

FALSO. A reta paralela a um dos planos poderá ser perpendicular, secante ou até paralela ao outro. Imagine uma reta perpendicular ao plano xOy, por exemplo no ponto (1, 1). Esta reta é paralela aos planos yOz e xOz que são perpendiculares entre si.

( ) Uma reta paralela a duas retas concorrentes de
um plano é perpendicular a esse plano.  

FALSO. Se duas retas são concorrentes, não existe uma terceira reta paralela à ambas, esteja onde estiver (no mesmo plano ou fora dele). Mas se a reta é paralela a uma reta do plano e passa por um ponto fora dele, então essa reta é paralela ao plano.