Cerca da fazenda

por **leozinho** Sex 25 Ago 2017, 01:21

Um fazendeiro deseja construir em sua fazenda um cercado de forma retangular para abrigar os animais que estejam apresentando sintomas de alguma doença. Para a construção desse cercado, ele vai utilizar totalmente um rolo de tela com 260 metros de comprimento. Dessa forma, a maior área possível que esse cercado pode ser?

por **ivomilton** Sex 25 Ago 2017, 10:46

leozinho escreveu:Um fazendeiro deseja construir em sua fazenda um cercado de forma retangular para abrigar os animais que estejam apresentando sintomas de alguma doença. Para a construção desse cercado, ele vai utilizar totalmente um rolo de tela com 260 metros de comprimento. Dessa forma, a maior área possível que esse cercado pode ser?

Bom dia, leozinho.

A maior área possível acontecerá quando essa forma retangular tiver lados iguais, ou seja, quando tiver o formato de um quadrado.
260 m/4 = 65 m
65 m * 65 m = 4225 m²
---------------------------
Explicando:

Lados do retângulo:
2(a+b) = 260 m
a+b = 260 m/2
a+b = 130 m
b = 130 m - a

S = a*b = a*(130-a)
S = -a² + 130a

Medida de "a" para obtenção da área máxima:
-b/2a = -130/-2 = 65 m

Logo, fica:
a = 65 m
b = 130 m - 65 m = 65 m

S = a*b = 65 m * 65 m = (65 m)² - 4225 m²

Um abraço.

por Luiz 2017 Sex 25 Ago 2017, 13:11

ivomilton escreveu:
leozinho escreveu:Um fazendeiro deseja construir em sua fazenda um cercado de forma retangular para abrigar os animais que estejam apresentando sintomas de alguma doença. Para a construção desse cercado, ele vai utilizar totalmente um rolo de tela com 260 metros de comprimento. Dessa forma, a maior área possível que esse cercado pode ser?
Bom dia, leozinho.

A maior área possível acontecerá quando essa forma retangular tiver lados iguais, ou seja, quando tiver o formato de um quadrado.
260 m/4 = 65 m
65 m * 65 m = 4225 m²
---------------------------
Explicando:

Lados do retângulo:
2(a+b) = 260 m
a+b = 260 m/2
a+b = 130 m
b = 130 m - a

S = a*b = a*(130-a)
S = -a² + 130a

Medida de "a" para obtenção da área máxima:
-b/2a = -130/-2 = 65 m

Logo, fica:
a = 65 m
b = 130 m - 65 m = 65 m

S = a*b = 65 m * 65 m = (65 m)² - 4225 m²

Um abraço.

Ivomilton, sua resposta está correta. Só faltou um pequeno detalhe: comprovar a sua afirmativa de que "A maior área possível acontecerá quando essa forma retangular tiver lados iguais". Será mesmo verdadeiro isto? Em outras palavras, não podemos afirmar isto à priori. Em princípio, isto talvez até venha a ser a solução ao final do problema, mas não uma premissa no início do problema. Inicialmente não sabemos isto. Só após os cálculos é que chegaremos a conclusão de sua validade ou não, obviamente a exceção dos adivinhos.

A álgebra pode nos dizer isso. A verificação pode ser feita pelo princípio dos máximos e dos mínimos de uma função, que diz que uma função algébrica passará por um máximo (ou por um mínimo) quando sua derivada for zero.

Seja a área do retângulo dada pela função:

S = a*b

onde "a" e "b" são lados opostos.

Mas, no problema em questão, é dado que:

2(a+b) = 260
a+b = 260/2
a+b = 130
a = 130-b

Portanto a função área será:

S = (130-b)*b

S= 130b - b²

Se S é máx quando dS/db = 0, então:

dS/db = 130 - 2b = 0

130 = 2b

b = 65

Daí:

a = 130 - b

a = 130 - 65

a = 65

Agora, sim, está comprovada sua afirmativa.

Portanto, com a soma dos lados igual a 260m, a maior área possível terá lados iguais de 65m, qual seja, o cercado retangular será um quadrado e sua área será:

S = 65x65 = 4225 m²

Há braços.

por **ivomilton** Sex 25 Ago 2017, 15:22

Caro Luiz, boa tarde.

Eu realmente iniciei afirmando, mas a seguir passei a explicar porque tal declaração era verdadeira.

Um abraço.

por **leozinho** Qui 31 Ago 2017, 15:11

Ivomilton o senhor é muito atencioso e sou fã de suas resoluções.
Grato.
Leozinho

por **ivomilton** Qui 31 Ago 2017, 16:07

leozinho escreveu:Ivomilton o senhor é muito atencioso e sou fã de suas resoluções.
Grato.
Leozinho

Boa tarde, leozinho.

Muito obrigado por suas declarações.
Estarei sempre às suas ordens, pois tenho prazer em compartilhar o dom que o Senhor Jesus me deu.
Abraços.
Ivo

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