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Equação

4 participantes

PiR2 :: Matemática :: Álgebra

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Equação

por igorrudolf Sáb 01 Jul 2017, 21:40

Boa noite senhores,

Como proceder nessa questão?

Resolva, em ℝ, a equação $\sqrt[x]{\frac{2}{x+1}}=(x+1)^{x+2}$

a) √2
b) 2√2
c) √2 + 1
d) √2 - 1
e) 2√2 -1

Gabarito: D

Agradeço desde já! :SW3:

igorrudolf: Jedi; Mensagens : 434
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Re: Equação

por fantecele Sáb 01 Jul 2017, 22:26

Eleva a x:

$\\\frac{2}{x+1}=(x+1)^{x.(x+2)}\\\\2=(x+1)^{(x+1)^2}\\2=(x+1)^{(x+1)^{(x+1)^{(x+1)^{...}}}}\\2=(x+1)^2$

A equação é em ℝ, então:

$\sqrt{2}=x+1\rightarrow x = \sqrt{2}-1$

fantecele: Fera; Mensagens : 1217
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Re: Equação

por Mathematicien Dom 02 Jul 2017, 12:03

fantecele88 escreveu: $Equação Gif.latex?\\\frac{2}{x+1}=(x+1)^{x.(x+2)}\\\\2=(x+1)^{(x+1)^2}\\2=(x+1)^{(x+1)^{(x+1)^{(x+1)^{..$

Não entendi nada dessa resolução. Podes explicá-la para mim com mais detalhes?

Mathematicien: Mestre Jedi; Mensagens : 668
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Re: Equação

por fantecele Dom 02 Jul 2017, 12:58

$\\\sqrt[x]{\frac{2}{x+1}}=(x+1)^{x+2}\rightarrow (\frac{2}{x+1})^{\frac{1}{x}}=(x+1)^{x+2}$

Elevando a x:

$\\(\frac{2}{x+1})^{\frac{x}{x}}=(x+1)^{x.(x+2)}\\(\frac{2}{x+1})=(x+1)^{x.(x+2)}\\2=(x+1)^{x^2+2x+1}\\2=(x+1)^{(x+1)^2}(I)$

Perceba que em $\\(x+1)^{(x+1)^2}$ temos aquele 2 e de (I) nós temos quanto vale 2, com isso substituindo "infinitamente" lá iremos obter que:

$\\2=(x+1)^{(x+1)^{(x+1)^{...}}}$

Perceba que estamos mexendo com "infinitos", com isso retirando um "x + 1" não irá interferir em nada, portanto em $\\(x+1)^{{\color{Red} ({(x+1)^{(x+1)^{...}}})}}$ temos que a parte em vermelho é igual ao próprio 2, portanto:

$\\(x+1)^{({(x+1)^{(x+1)^{...}}})}=(x+1)^2=2$

Outra forma que você pode ver esse final é que:

$2=(\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^2}=(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^{...}}}$

$\\(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^{...}}}=(x+1)^{(x+1)^{(x+1)^{...}}}$

Portanto x + 1 = √2

fantecele: Fera; Mensagens : 1217
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Re: Equação

por Mathematicien Dom 02 Jul 2017, 16:08

Genial!! Obrigado, fantecele88!! Que interessante ver como a álgebra pode "entrar em loop". Very Happy

Very Happy

Very Happy

Fascinante!!

Mathematicien: Mestre Jedi; Mensagens : 668
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Re: Equação

por igorrudolf Seg 03 Jul 2017, 05:24

Sensacional!!

Muito obrigado, fantecele! cheers

cheers

igorrudolf: Jedi; Mensagens : 434
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Re: Equação

por murilottt Dom 16 Jul 2017, 11:47

Questão complicadinha... Aonde posso encontrar mais questões semelhante a esta?

murilottt: Jedi; Mensagens : 369
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Re: Equação

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