Função Composta

por murilottt Qui 29 Jun 2017, 11:31

(VUNESP-SP) Considere as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b. Determine o conjunto C, dos pontos (a,b) ∈ ℝ², tais que f ο g = g ο f.

Resposta:

-- // --

Não consegui entender o que significa conjunto C, dos pontos (a,b) ∈ ℝ²

por trindadde Qui 29 Jun 2017, 12:32

Olá!

O enunciado refere-se ao conjunto de pontos no plano (geralmente o plano xy mesmo, aquele velho plano cartesiano) que satisfazem à composição dada, isto é, os pontos tais que você obtém o mesmo resultado compondo f com g, e aplicando neles, e vice-versa.

Observe que não há problemas quanto aos domínios e imagens, visto que ambas estão definidas na reta toda e tem como imagem a reta real.

Compondo f com g:

$f(g(x)) = (f\circ g)(x) = f(ax+b)=2(ax+b)+3$

Compondo g com f:

$g(f(x)) = (g\circ f)(x) = g(2x+3)=a(2x+3)+b$

E vejamos agora onde elas se igualam:

$(f\circ g)(x) = (g\circ f)(x)\Leftrightarrow 2(ax+b)+3 = a(2x+3)+b\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow 2ax + (2b + 3) = 2ax + (3a + b) \Leftrightarrow 2b + 3 = 3a + b \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow b = 3a-3$

Isto é, para todo valor de a, teremos b = 3a - 3. Logo, os pontos (a, b) do plano (isto é, de $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R}\text{\;X\;}\mathbb{R}$ ) são os pontos da forma $(a,3a-3), \forall a\in\mathbb{R}$ .

Abraço!

por murilottt Qui 29 Jun 2017, 13:39

Entendi quase tudo, Trindade! (: .

Só pra conferir, o ℝ² são os pontos (a,b) do plano cartesiano?

por trindadde Qui 29 Jun 2017, 13:46

Isso mesmo!

Quando vc faz o produto cartesiano entre dois conjuntos e representa por A X B, e representa pontos (x,y) no plano de modo que o x é um valor do conjunto A e o y um valor do conjunto B, vc tem uma situação análoga à do $\mathbb{R}^2$ , já que essa notação representa o produto cartesiano de $\mathbb{R}$ com ele mesmo.

Abraço!

por murilottt Qui 29 Jun 2017, 14:52

Entendi, muito obrigado!

por LuquITA Qua 17 Fev 2021, 11:05

Olá, você poderia me explicar o pq dos pontos (a,b) serem os pontos da forma?

por **Elcioschin** Qua 17 Fev 2021, 11:57

A equação final é b = 3.a - 3 ou a = (b + 3)/3

Como NÃO temos os valores de a, b podemos expressar cada ponto, em função de a ou de b:

1 ---> (a, 3a - 3) ---> Esta foi a resposta do gabarito

2 ---> [ (b + 3)/3 , b] ---> Mas poderia ser esta também