Lugar geométrico

por Jorge ss Qui 29 Jun 2017, 09:13

O segmento AB = 12 unidades desloca-se de modo que A percorre o eixo OX e B percorre o eixo OY. P=(x,y) é o ponto interior do segmento e fica situado a 8 unidades de A. Determine a equação do lugar geométrico descrito por P.

por **Victor011** Qui 29 Jun 2017, 09:50

A(x,0) e B(0,y).

Se P pertence a AB e dista 8 unidades de A e 4 unidades de B, vale a seguinte relação:

\\P=\frac{8.B+4.A}{8+4}=\frac{8.B}{12}+\frac{4.A}{12}\\\\P=(0,\frac{2y}{3})+(\frac{x}{3},0)\;\to\;P(\frac{x}{3},\frac{2y}{3})

Agora temos que relacionar x e y. Como a distancia AB vale 12:

\\x^2+y^2=144\;\;\;(1)\\\\\text{al\'em disso:}\\\\\begin{cases}x_p=\frac{x}{3}\;\to\;x=3.x_p\;\;\;(2)\\y_p=\frac{2y}{3}\;\to\;y=\frac{3.y_p}{2}\;\;\;(3)\end{cases}

Substituindo (2) e (3) em (1):

\\(3.x_p)^2+(\frac{3.y_p}{2})^2=144\\\\\boxed{\therefore \frac{x_p^2}{16}+\frac{y_p^2}{64}=1\;\;(elipse)}

por Jorge ss Qui 29 Jun 2017, 20:55

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