Relação entre as diagonais de um quadrilátero

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Relação entre as diagonais de um quadrilátero

Mensagem por rafalacerda em Seg Jun 19 2017, 10:46

Fala pessoal, tudo bom? Essa questão é do livro 2 do Caio Guimarães, por isso coloquei aqui na parte de analítica. Tentei resolver ela por áreas, da mesma forma que a gente faz para demonstrar o teorema de Hiparco, mas não saiu kkkk, consegui chegar na relação a.d=b.c, que não é bem o que ele pede. Tá ai a questão, quem puder ajudar, agradeço:

Considere um quadrilátero convexo cujas diagonais coincidem com os eixos coordenados. Sejam os vértices marcados pelas coordenadas A=(a,0), B=(0,b), C=(c,0) e D=(0,d). Mostre que o quadrilátero será inscritível se e somente se a.c=b.d .

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Re: Relação entre as diagonais de um quadrilátero

Mensagem por Elcioschin em Seg Jun 19 2017, 11:51

Existem duas possibilidades para o quadrilátero com diagonais perpendiculares.

1) Um quadrado: neste caso a = b = c = d ---> a.c = b.d

2) Um trapézio com diagonais perpendiculares. Neste caso também vale a relação 
a.c = b.d

Um exemplo é o trapézio MNPQ c/ base maior MN = 6, base menor PQ = 2 e altura 4

Sendo O o ponto de encontro das diagonais temos: MP = NP = 3.√2 e PQ = QP = √2

Altura de OPQ em relação a PQ = 1 ---> Altura de OMN em relação MN = 3

NP = a, PQ = b, QP = c, MP = d

a.c = (3.√2).(√2) = 6
b.d = (√2).(3.√2) = 6

a.c = b.d
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Re: Relação entre as diagonais de um quadrilátero

Mensagem por rafalacerda em Seg Jun 19 2017, 15:07

Mas nesse caso, o quadrado e o trapézio são quadriláteros "notáveis", que possuem algunas propriedades, como posso provar isso para qualquer quadrilátero de diagonais perpendiculares?

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Re: Relação entre as diagonais de um quadrilátero

Mensagem por Euclides em Seg Jun 19 2017, 15:36

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Re: Relação entre as diagonais de um quadrilátero

Mensagem por rafalacerda em Seg Jun 19 2017, 21:55

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Ah sim, já nem me lembrava mais, a demonstração então é feita por semelhança de triângulos né? Só uma dúvida, nesse caso a diagonal AC do quadrilátero é também um diâmetro da circunferência, mas nem sempre isso ocorre, certo? Quando não for um diâmetro, o teorema também é válido? Obrigado Euclides!

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