Área integral

por victorguerra03 Dom 18 Jun 2017, 15:48

Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:

A é o conjunto do plano limitado pelos gráficos de y=x³ - x e y=sen(pix), com -1<=x<=1

por igorrudolf Dom 18 Jun 2017, 16:46

Oi Victor,

Vamos considerar que:

f(x) = x³ - x
g(x) = sin (pi.x)

No intervalo -1 < x < 0, f(x) > g(x)
No intervalo 0 < x < 1, g(x) > f(x)

Para não ficar confuso depois, já deixo calculado:

$\int sin(\pi .x)dx=\frac{1}{\pi}\int \pi.sin(\pi.x)=-\frac{1}{\pi}\: .\: \cos(\pi.x)+C$
Portanto, para calcular a área entre os gráficos vamos fazer:

$\int_{-1}^{0}\big[f(x)-g(x)\big]dx\: \: +\int_{0}^{1}\big[g(x)-f(x)\big]dx\\\\\\\rightarrow \int_{-1}^{0}\big(x^{3}-x-\sin(\pi x)\big)dx\: +\int_{0}^{1}\big(\sin(\pi x)-x^{3}+x\big)dx\\\\\\\rightarrow \bigg[\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{\cos(\pi x)}{\pi}\bigg]^{0}_-_1\: \: +\: \: \bigg[-\frac{\cos(\pi x)}{\pi}-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}\bigg]^{1}_0\\\\\\\rightarrow \frac{1}{\pi}\: \: -\: \: \bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\bigg)\: \: +\: \: \bigg(\frac{1}{\pi}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\bigg)\\\\\\\rightarrow \frac{2}{\pi}+\frac{1}{4}+\frac{2}{\pi}+\frac{1}{4}=\boxed{\frac{1}{2}+\frac{4}{\pi}}$

Desenho:

Fonte: desmos.com

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