Equação modular

Olá, 
Os próximos 2 itens pertencem a mesma questão:

(1) Ache o intervalo de m, para o qual a equação |x² - 3x + 2| = mx tenha 4 soluções reais a, b, c, d.

(2) Expresse o valor de      em termos de m.

Gabarito:

(1) 0 < m < 3 - 2√2
(2) (m² + 5)/2

Tentativa de resolução:

(1) Desenhar o gráfico de |x² - 3x + 2| e a reta y = mx 
Para que a equação tenha 4 soluções reais, a reta deve cortar o gráfico em 4 pontos, assim m deve ser sempre menor que certo valor ''k'' tal que a reta seja tangente ao gráfico, pois dessa maneira só teriam 3 pontos onde a reta corta o gráfico. 
Então, -(x² - 3x + 2) = mx e sabendo que o discriminante deve ser igual a zero, encontramos 2 soluções para m
m' = 3 + 2√2 e m'' = 3 - 2√2 
O m em questão é 3 - 2√2, mas que condição foi usada para escolher um dos 2 valores?

Além disso, é possível resolver este primeiro item igualando x² - 3x + 2 = mx e x² - 3x + 2 = -mx ? Se sim, alguém poderia apresentar a resolução? Quando tento dessa forma, não chego no gabarito.

(2) Achando o valor do discriminante de cada um dos dois casos, isto é, x² - 3x + 2 = mx e x² - 3x + 2 = -mx, e encontrando as raízes a, b, c, d em função de m, chegamos em uma conta trabalhosa, existe outra maneira mais simples de resolver?

Qualquer dica/ajuda será muito apreciada!

|x² - 3.x + 2| = m.x ---> 

Devemos ter m.x > 0 ---> Se m < 0 ---> x < 0 ---> Se m > 0 ---> x > 0

Existem duas possibilidades:

1) + (x² - 3.x + 2) = m.x ---> x² - (m + 3).x + 2 = 0

∆ > 0 ---> [-(m + 3)]² - 4.1.2 > 0 ---> m² + 6.m + 1 = 0

Raízes ---> m' = - 2.√2 - 3 ---> m" = 2.√2 - 3

m < m' ---> m < - 2.√2 - 3 ---> m' < 0
m > m" ---> m > 2.√2  - 3 ---> m" > 0


2) - (x² - 3.x + 2) = m.x ---> x² + (m - 3).x + 2 = 0

∆ > 0 ---> (m - 3)² - 4.1.2 > 0 ---> m² - 6.m + 1 = 0

Raízes: m''' = 3 - 2.√2 ---> m"" = 3 + 2√2 ---> duas raízes positivas

3) Deve-se agora entrar com os valores de m na equação para checar as condições (em vermelho)

Olá Elcio, 

Primeiramente obrigado pela resposta.

Acredito que houve um erro na hora de terminar as raízes tanto no passo 1), quanto no passo 2).

No passo 1, acredito que as raízes seriam -3+2√2 e -3-2√2
No passo 2, acredito que as raízes seriam 3+2√2 e 3-2√2

Me desculpe, mas o senhor poderia realizar o passo 3 de checar as condições em vermelho? Pois depois de encontrar o intervalo de m para o qual ∆ > 0, fiquei perdido. 

Muito obrigado!

igorrudolf

Você tem razão: eu troquei 2 pelo 3 antes da raiz. Já editei em vermelho.
Estou saindo para um compromisso e quando retornar vou tentar.

Compartilho a solução do colega "undefinied"

Para ocorrer o que o enunciado pede, a reta deve no máximo (excluindo esse caso), tangenciar a parábola ou passar pela horizontal.

Aqui fica evidente que o valor mínimo de m é 0, quando a reta é horizontal.


Agora, pense no resto dessa parábola refletida, o resto que ficaria pra baixo. A equação dela é 
-(x-1)(x-2)=-x²+3x-2, justamente a reflexão do que está no módulo. 


Queremos uma tangente a essa parábola passando pela origem, então: dy/dx = -2x+3 --> y' =-2x+3
 
Queremos justamente o ponto de tangencia. Seja (a,b) esse ponto, então:

(b-0)/(a-0) =y'(a) --> b/a = -2a+3

Mas b pertence a parábola, então b=-a²+3a-2, assim: (-a²+3a-2)/a=-2a+3 --> a = +/-√2

No caso, apenas o resultado positivo convêm, e teremos y' = m = -2√ 2 + 3

Portanto 0 < m < 3-√ 2

Elcioschin escreveu:igorrudolf

Você tem razão: eu troquei 2 pelo 3 antes da raiz. Já editei em vermelho.
Estou saindo para um compromisso e quando retornar vou tentar.

Perfeito Sr. Elcio, fico no aguardo!

Olá sr. Petras,

Primeiramente muito obrigado pela resolução. Esqueci completamente de usar a derivada nesse caso e notar que seria igual ao m de tangência. 

Compartilho a continuação do passo (1) de outra forma:

Encontrado os dois valores para m, isto é, 3 + 2√2  e  3 - 2√2 
voltamos a equação original  -x² + 3x - 2 = mx e substituímos os 2 valores de m. 

Para m = 3 + 2√2, encontramos x = -√2
Para m = 3 - 2√2, encontramos x = √2

Portanto, o valor máximo de m deve ser 3 - 2√2, uma vez que queremos o ponto de tângencia no intervalo (1 ; 2).

Acho que o assunto ficou totalmente esclarecido.