Função “alternativas”

Considere as afirmações:

I- Se f: R → R é uma função par e g: R → R uma função qualquer, então a composição gof é uma função par.

II- Se f: R → R é uma função par e g: R → R uma função ímpar, então a composição fog é uma função par.

III- Se f: R → R é uma função ímpar e inversível então f^-1: R → R é uma função ímpar.

Então:

(A) Apenas a afirmação I é falsa;
(B) Apenas as afirmações I e II são falsas;
(C) Apenas a afirmação III é verdadeira;
(D) Todas as afirmações são falsas;
(E) n.d.a.

Letra E

Função par -> f(x) = f( -x )

Função ímpar -> f(x) = - f( -x )

sejam as funções:

f(x) = x² - 1

f(x) = f( -x ) -> x² - 1 = ( -x )² - 1 = x² - 1 -> função par

g(x) = 2x

g(x) = - g( -x ) -> 2x = - g( -x ) -> 2x = - ( - 2x ) -> 2x = 2x -> função ímpar


I) g o f(x) = 2*( x² - 1 ) = 2*x² - 1

2*x² - 1 = 2*( -x )² - 1 = 2*x² - 1 -> função par -> verdadeira


II) fo g(x) = ( 2x )² - 1 = 4*x² - 1


4*x² - 1 = 4*( -x )² - 1 = 4*x² - 1 -> função par -> verdadeira


III) g( x ) = 2*x

x = 2* g(x) => g(x) = x/2

x/2 = -x/2 -> função ímpar -> verdadeira

n.d.a.

Gostei da solução e foi bom ter recordado este assunto, um forte abraço

Estou achando alguma coisa estranha.
No livro
Elementos de Matemática VOL 1, Marcelo Rufino e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro, na parte de paridade, a teoria apresentada é a seguinte:

Composição de funções:
Seja, por exemplo, fog
Se f e g possuem a mesma paridade, fog é par.
Se f e g possuem paridades diferentes, fog é ímpar...

Isso iria anular a alternativa I e a alternativa II.

Além disso, nessa questão do ITA de 1991, temos duas alternativas iguais (b e c)

No livro mencionado, a demonstração é feita apenas para o caso de composição de duas funções ímpares:

Sejam f e g funções ímpares
fog(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-[-f(g(x))]=f(g(x))=fog(x)
Logo, a composta de funções ímpares é uma função par

Eu estou achando estranha essa demonstração pois na passagem em negrito acredito que houve erro de sinal
Ele não demonstra as demais, pois afirma que "os demais casos são análogos e ficam como exercício".

Alguém poderia explicar? Ou fornecer alguma fonte mais confiável.

Pesquisando mais, concluo que a resolução do Jose Carlos está correta

O livro Elementos de Matemática Elementar vol1 ESTÁ ERRADO NESSA PARTE.