Área do triângulo

por **Giovana Martins** Dom 30 Abr 2017, 21:06

Calcular a área do triângulo retângulo ABC em função de R e r.

por Lukkaz Seg 01 maio 2017, 15:20

Essa questão é um pouco trabalhosa, então é preciso calma e paciência para fazê-la pois qualquer erro por distração o levará a uma resposta completamente distante da desejada. Aqui vai:
Área do triângulo Yirea_11

Utilizaremos basicamente semelhança entre triângulos e relação de pitágoras (ALH ~ AOM).

$\frac{x + r}{r} = \frac{x + 2r + R}{R}$

$Rx + Rr = rx + 2r² + Rr$

$x(R - r) = 2r^{2}$

$x = \frac{2r^{2}}{(R - r)}$

Agora podemos descobrir o valor da altura y do triângulo menor através de Pitágoras:

$r^{2} + y^{2} = (x + r)^{2}$

$y^{2} = \frac{4r^{4}}{(R - r)^{2}} + \frac{4r^{3}}{(R - r)}$

$y^{2} = \frac{4r^{4} + 4Rr^{3} - 4r^{4}}{(R - r)^{2}}$

$y = \frac{2r\sqrt{Rr}}{(R - r)}$

Agora, através de outra semelhança entre triângulos, podemos descobrir o valor da altura AB do triângulo ABC ( ALO ~ ABI):

$\frac{r}{y} = \frac{R}{\overline{AB}}$

$\frac{r(R - r)}{2r\sqrt{Rr}} = \frac{R}{\overline{AB}}$

$\overline{AB} = \frac{2R\sqrt{Rr}}{(R - r)}$

Podemos então utilizar dois outros triângulos para a semelhança (IMC ~ ABC) após outro Pitágoras.

$\overline{AC}^{2} = \overline{AB}^{2} + \overline{BC}^{2}$

$\overline{AC} = \sqrt{\overline{AB}^{2} + \overline{BC}^{2}}$

Assim, utilizaremos a semelhança mencionada.

$\frac{R}{\overline{AC} - \overline{AB}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}$

Simplificarmos para então substituir pelos valores conhecidos:

$R\overline{BC} = \overline{AC} \overline{AB} - \overline{AB}^{2}$

$R\overline{BC} = \sqrt{\overline{AB}^{2} + \overline{BC}^{2}} \overline{AB} - \overline{AB}^{2}$

Elevando ambos os braços da equação ao quadrado:

$R^{2}\overline{BC}^{2} + \overline{AB}^{4} + 2R\overline{BC} \overline{AB}^{2} = \overline{AB}^{4} + \overline{AB}^{2}\overline{BC}^{2}$

Como temos BC em todos os termos, podemos dividir por BC os dois lados sem alteração no resultado:

$\overline{BC} (\overline{AB}^{2} - R^{2}) = 2R\overline{AB}^{2}$

$\overline{BC} = \frac{2R\overline{AB}^{2}}{ (\overline{AB}^{2} - R^{2})}$

Como temos o valor de BC e de AB, só precisaremos aplicar a fórmula da área de um triângulo qualquer, (B x H)/2 = A

$A = (\overline{AB} \overline{BC})/2$

$A = \frac{2R\sqrt{Rr}}{(R - r)} \cdot \frac{8R^{3}(R - r)}{(R - r)^{2}} \cdot \frac{(R - r)^{2}}{R^{2}[4Rr - (R - r)^{2}]} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{8R^{3}r\sqrt{Rr}}{(R - r)(6Rr - R^{2} - r^{2})}$

por **Giovana Martins** Seg 01 maio 2017, 15:35

Linda resolução, Lukkaz! Eu fiquei um tempão tentando resolvê-la e nada. Já tinha até desistido Razz

. Enfim, muito obrigada Very Happy

!

por Lukkaz Seg 01 maio 2017, 15:42

Disponha! Se quiser treinar mais questões como essas, de nível parecido ou um pouco mais difícil, a questão 10 da discursiva do IME 2017 e a questão 17 do ITA 2016 são ótimas!

por **Giovana Martins** Seg 01 maio 2017, 17:52

Obrigada pelas sugestões, Lukkaz.

por **raimundo pereira** Seg 01 maio 2017, 19:11

:bball: a resolução do clg Lukkaz.
Eu também pensei alguma coisa , mas não tive disposição para encarar o algebrismo. Mas, vou deixar postado o que pensei.

Área do triângulo Vkztd