Função III

Seja a função f: ℕ*xℕ* → ℕ* tal que f(m,n) = 2^m-1(2n - 1). Mostre que a função é bijetora, isto é, que ela define uma correspondência biunívoca entre os conjuntos ℕ*xℕ* → ℕ*.

temos a seguinte expressão:note que 2^(m-1), para todo m natural maior que 0 ,será um numero natural não nulo e obviamente o fator 2n-1 com n natural não nulo será,também,não nulo.Nessas circunstâncias o conjunto imagem da função será ℕ* ulo , logo Im=CD (sobrejetora).
Suponha agora,por absurdo, que f(m,n) não é injetora, logo, há no mínimo dois m(x),n(y) com iguais imagens. supomos m1,m2,n1,n2 tal que m1 diferente de m2 e n1 diferente de n2 e pelo principio da boa ordenação, suponho que m1 é mínimo e ,portanto, maior que m2 tal que:
multiplico por 2 ambas as partes:
  como são números iguais, tem logaritimos(2) iguais:




 como m1>m2 e ambos são inteiros, esse log tem de ser inteiro. isso nada mais é que:
 para todo k natural não nulo.Entretanto os números 2n(2)-1 e 2(n1)-1 são impares e 2^k é par, logo , temos uma divisão de dois impares resultando em um número par e isso é um absurdo. Chegamos a um absurdo e isso implica que a suposição inicial é absurdo. provamos portanto que f(m,n) é sobrejetora e injetora comprovando também que é bijetiva.