(FUVEST) Função Trigonométrica

por ALDRIN Sex 22 Abr 2011, 14:42

O valor máximo da função $f(x)=3.cos x+2.sen x$ para $x$ real é:

a) $\frac{\sqrt2}{2}$ .

b) $3$ .

c) $\frac{5\sqrt2}{2}$ .

d) $\sqrt{13}$ .

e) $5$ .

Spoiler:

por **JoaoGabriel** Sex 22 Abr 2011, 14:55

Eu já postei essa questão aqui no fórum, mas não acho :/ Até me lembro que está em meu livro de Ensino Médio, mas o mestre Euclides resolveu usando cálculo.

por ALDRIN Sex 22 Abr 2011, 15:10

Transcreve a resolução dele, por favor.

por Luck Sex 22 Abr 2011, 15:20

Vc pode usar o 'truque' do triângulo retângulo:
Sendo a e b reais, existe theta tal que asenx + bcosx = sqrt(a²+b²) senx + theta

f(x) = 3cosx + 2senx
f(x) = sqrt(3²+2²) senx + theta
f(x) = sqrt(13)senx + theta
a função assume o valor máximo qdo x=90º, assim máx = V13

Tem a demonstração dessa fórmula na minha apostila, daqui a pouco eu posto pq meu word e firefox n estao abrindo, aí n da pra digitar os símbolos...

por Luck Sex 22 Abr 2011, 16:17

Demonstração:
Veja que:
$(FUVEST) Função Trigonométrica Gif.download?asenx+bcosx&space;=&space;\sqrt{a^2+b^2}$
Como $(FUVEST) Função Trigonométrica Gif$ , existe θ tal que $(FUVEST) Função Trigonométrica Gif$
e $(FUVEST) Função Trigonométrica Gif$ (a figura ilustra o caso em que θ é agudo). Daí, segue que :
$(FUVEST) Função Trigonométrica Gif.download?asenx+bcosx&space;=&space;\sqrt{a^2+b^2}cos\theta.senx&space;+&space;sen\theta$

por **Elcioschin** Sex 22 Abr 2011, 17:19

Solução por derivadas

f(x) = 3cosx + 2senx

f '(x) = - 3senx + 2cosx

Para ser máximo f '(x) = 0 ----> - 3senx + 2cosx = 0 ----> 3senx = 2cos ----> 9sen²x = 4cos²x ----> 9sen²x = 4*(1 - sen²x) ----> 13sen²x = 4 --->

sen²x = 4/13 ----> senx = 2*\/13/13

cos²x = 1 - 4/13 ---> cos²x = 9/13 ----> cosx = 3*\/13/3

f(x)máx = 3*(3*\/13)/13) + 2*(2*\/13)/13 ----> f(x)máx = 9*\/13/13 + 4*\/13/13 ----> f(x)máx = \/13

por **luiseduardo** Seg 13 Jun 2011, 23:22

Olá pessoal,
Uma outra solução ainda mais simples seria usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz:

f(x) = 3cosx + 2senx

3cosx + 2senx = w

w² <= (3² + 2²)(cos²x + sen²x)

w² <= 9 + 4
w² <= 13

Como queremos o valor máximo:

w = V13