Geometria plana difícil

O triângulo ABC é equilátero, prolonga-se o lado BC de um segmento CP, e toma-se, sobre a bissetriz do ângulo BAC, um ponto Q, de forma que BQ seja perpendicular a AP, quanto mede o ângulo QPC?

(A) 15
(B) 30
(C) 45
(D) 60
(E) 25

Alex,
nem precisa fazer muita conta, basta desenhar e aplicar um pouco de raciocínio do tipo "e se...".

Como CP é prolongamento de BC, o ângulo QPC = QPB. Seja θ o ângulo QPC procurado.
A princípio podemos imaginar que esse ângulo depende do comprimento de CP. Vamos então, imaginar duas situações extremas, considerando que o ponto Q deva ficar interno ao triângulo.

situação 1
Vamos colocar o ponto Q o mais alto possível.
CP é de tal tamanho que o ponto Q coincida com o ponto A. Neste caso, o triângulo BQP é retângulo em Q (=A) e, como o triângulo ABC é equilátero, temos θ=30°.

situação 2
Vamos, agora, colocar o ponto Q o mais baixo possível.
No outro limite, supomos CP=0, ou seja, o ponto P coincide com o ponto C. Neste caso, AP é o próprio lado AC e BQ será perpendicular a ele. Mas como estamos com um triângulo equilátero, as alturas (perpendiculares), as medianas e as bissetrizes encontram-se no mesmo ponto. E se QP é bissetriz de ACB, então θ=30°.

De início poderíamos supor que a medida de θ iria variar desde um valor numa das situações acima até o valor na outra situação. E descobrimos que ele varia de 30° até 30°.
Portanto, θ=30° sempre, não importa o tamanho de CP.