divisibilidade

Num pacote existiam n figurinhas, entre 800 e 900. Contando-se de 3 em 3, sobravam 1; de  5 em 5, sobravam 2 e de 7 em 7, sobravam 3. Quantas haviam no pacote?

Resposta 892


Queria a explicação de como se faz essa questão por favor

Fazendo de maneira "braçal":

Somando de 3 em 3:

800|
803|833|863|893
806|836|866|896
809|839|869|899
812|842|872|
815|845|875|
818|848|878|
821|851|881|
824|854|884|
827|857|887|
830|860|890|

Somando de 5 em 5:

800|855
805|860
810|865
815|870
820|875
825|880
830|885
835|890
840|895
845|900
850|

Somando de 7 em 7:

800|863
807|870
814|877
821|884
828|891
835|898
842|
849|
856|

Acredito que não tem como ser 892.

892-1=891 (Não tem somando de 3 em 3)
892-2=890
892-5=887 (Não tem somando de 7 em 7)

Esdras você interpretou errado. o gabarito está correto.

892/3 = 297.3 +1=891 +1 (ele contou até 891, como tinha 892 sobrou uma)
892/5 = 178.5+2 = 890+2 (ele contou até 890, como tinha 892 sobrou duas)
892/7 = 127.7 + 3 = 889+3 (ele contou até 889, como tinha 892 sobrou três)

Não tinha pensado dessa forma. Mas na última opção não deveria sobrar 5?  :scratch:

Provavelmente erro de transcrição do enunciado.

Enunciado diz que de 7 em 7 sobram 5 e não 3.

Naval, pode rever seu enunciado e corrigir?

Há a possibilidade de ser 817 como resposta pois atende as 3 condições.

Ou o gabarito está errado ou o enunciado está errado.

Compartilho a solução do colega "Ittalo" 

Para n= 892:
n+11 é múltiplo de 3 e também múltiplo de 7, logo é múltiplo de 21.
n+11  deixa resto 3 ao ser dividido por 5, logo seu último algarismo é 3 ou 8.
798=21⋅38
Logo os múltiplos de 21 que precisamos considerar são:
{819,840,861,882,903} 
O único número terminado em 3 ou em 8 é 903, assim:
n+11=903 → n=892

Para n=817
Perceba que n+2 é múltiplo de 3 e de 7, logo é múltiplo de 21. 
Perceba também que n+2 deixa resto 4 na divisão por 5, ou seja, seu último algarismo é 4 ou 9.
798=21⋅38
Logo os múltiplos de 21 no intervalo dado são:
{819,840,861,882}
A única opção é:
n+2=819→n=817

Naval2018 escreveu:Num pacote existiam n figurinhas, entre 800 e 900. Contando-se de 3 em 3, sobravam 1; de  5 em 5, sobravam 2 e de 7 em 7, sobravam 5. Quantas haviam no pacote

Resposta 892


Queria a explicação de como se faz essa questão por favor

Boa tarde, Naval.

Há erro no texto da questão, pois de 7 em 7 deve sobrar 3 (se a resposta for correta).
Acertada essa parte, podemos escrever:
3x + 1 = 5y + 2 = 7z + 3

Acrescentando vários 3 ao primeiro membro e vários 7 ao terceiro, chegaremos a:
3(x+3) + 1 = 7(z+1) + 3
3x + 9 + 1 = 7z + 7 + 3
3x + 10 = 7z + 10

Assim, a solução deve ser múltiplo de 21 (=3*7) + 10, formato 21m + 10 .... (I)

Acrescentando vários 3 ao primeiro membro e vários 5 ao segundo, chegaremos a:
3(x+2) + 1 = 5(y+1) + 2
3x + 6 + 1 = 5y + 5 + 2
3x + 7 = 5y + 7

Então, a solução tb deve ser múltiplo de 15 (=3*5) + 7, formato 15n + 7 .... (II)
Igualando-se (I) com (II), vem:
21m + 10 = 15n + 7 ..... (III)

Resolvendo:
800 < 21m+10 < 900

21m+10 > 800
21m > 800-10
21m > 790
m > 790/21
m > 37,6
m ≥ 38

21m+10 < 900
21m < 900-10
21m < 890
m < 890/21
m < 42,3
m ≤ 42
========================= 
800 < 15n+7 < 900

15n+7 > 800
15n > 800-7
15n > 793
n > 793/15
n > 52,8
n ≥ 53

15n+7 < 900
15n < 900-7
15n < 893
n < 59,5
n ≤ 59
========================= 
Substituindo em (III), m e n pelos valores acima calculados, fica:
21*m + 10  e   15*n + 7

m=38 ; n=53
21*38 + 10 e 15*53 + 7
808 e 802
---------------------------- 
m=39 ; n=54
21*39 + 10 e 15*54 + 7
829 e 817
----------------------------
m=40 ; n=55
21*40 + 10 e 15*55 + 7
850 e 832
----------------------------
m=41 ; n=56
21*41 + 10 e 15*56 + 7
871 e 847
----------------------------
m=42 ; n=57
21*42 + 10 e 15*57 + 7
892 e 862
----------------------------
........... n = 58
........... 15*58 + 7
........... 877
----------------------------
........... n = 59
........... 15*59 + 7
........... 892

A seguir listaremos todos os resultados do primeiro membro e também os do segundo:
Lista A = 808, 829, 850, 871, 892 
Lista B = 802, 817, 832, 847, 862, 877, 892

A∩B = 892



Um abraço.

Se você não errou no enunciado, o gabarito correto deve ser 817 como petras colocou.

A resolução ficaria:

n  <--- Número de figurinhas que queremos achar

n = 3k + 1   <----> 3 | n - 1
n = 5k' + 2  <----> 5 | n - 2
n = 7k'' + 5 <----> 7 | n - 5

Se 3 divide (n - 1), 3 deve dividir (n - 1 + 3 <----> n + 2).
Se 7 divide (n - 5), 7 deve dividir (n - 5 + 7 <----> n + 2).
Se 5 divide (n - 2), 5 deve dividir (n - 2 + 5 <----> n + 3).

Como (n + 2) é divisível por 7 e por 3, ele deve ser divisível pelo produto entre eles. Portanto, 21 | n + 2.

Se 21 divide (n + 2), 21 divide: (n + 2 + 21 <---> n + 23).

Se 5 divide (n + 3), 5 divide: (n + 3 + 5*4 <---> n + 3 + 20 <---> n + 23).

Se (n + 23) é divisível por 5 e 21, ele será divisível pelo produto entre eles:

5 * 21 = 105.

105x = n + 23
105x - 23 = n

n está no intervalo, 800 < n < 900.

800 < 105x - 23 < 900  + (23)
800 + 23 < 105x - 23 + 23 < 900 + 23
823 < 105x < 923  / (105)
823/105 < 105x/105 < 923/105
7,83 < x < 8,79

Como x é inteiro, devemos arredondar os valores, ficando:

8 ≤ x ≤ 8


x só pode ser 8, portanto:


105.8 - 23 = n
840 - 23 = n
817 = n

Obrigado pelas resoluções já corrigi