Divisibilidade

por Nat' Qui 31 Jan 2013, 22:35

N = 1492⁹⁹ - 1770⁹⁹ - 1863⁹⁹ + 2141⁹⁹ é divisível por:

a) 11

b) 23

c) 37

d) 47

e) 53

por **Robson Jr.** Qui 31 Jan 2013, 23:06

Repare que 2141 - 1770 = 1863 - 1492 = 371. Usemos esse fato:

$\small \\ (1)=2141^{99}-1770^{99}=(2141-1770)(algo_1)=371(algo_1) \\ (2)=1863^{99}-1492^{99}=(1863-1492)(algo_2)=371(algo_2)$

Logo (1) - (2) é divisível por 371, que por sua vez é múltiplo de 53. e)

por leonardo camilo tiburcio Qui 31 Jan 2013, 23:12

Caraca Robson , eu não lembrava desse bisu, eu coloquei o 1 elevado a 99 em evidencia, porém dava 0 o fator multiplicativo!

De onde voce tirou esse bisu?

por **Robson Jr.** Qui 31 Jan 2013, 23:27

Leo, eu usei duas fatorações bem conhecidas. São elas:

$\small \\ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}) \\ a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-...-a^2b^{n-3}+ab^{n-2}-b^{n-1})$

A primeira vale para todo n inteiro, mas a segunda só vale para expoentes ímpares. Veja algumas aplicações:

$\small \\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\ (a^4-b^4)=(a-b)(a^2+a^2b+ab^2+b^3)\\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\ a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$

Como o expoente era 99, chamei o segundo fator de "algo" e me concentrei no 371 (que equivale ao a - b).

Fica o Bizu:

Spoiler:

Se você não está conseguindo ver o Bizu é porque não entendeu.

por leonardo camilo tiburcio Qui 31 Jan 2013, 23:35

Eu lembro disso , mas isso puxa mais pra matéria de IME/ITA!
Eu sou turma CN/EPCAR , eu lembro que uma vez o professor colocou um problema assim , e ele usou esse bisu!
Abraços!

por leonardo camilo tiburcio Qui 31 Jan 2013, 23:38

Esse bisu tinha em um livro de IME/ITA, ai sempre nessas questões agente faz assim:

{a + 2001}{a+2003}{a+2006}{a+2012}

O primeiro vezes o segundo vezes o segundo pelo terceiro, logo depois encontrar um fator comum entre eles, lembra?

por Nat' Qui 31 Jan 2013, 23:40

Robson, valeu! Smile

Perdi um tempão tentando resolver essa questão usando congruencia linear.

por **Robson Jr.** Sex 01 Fev 2013, 00:09

leonardo camilo tiburcio escreveu:Esse bisu tinha em um livro de IME/ITA, ai sempre nessas questões agente faz assim:

{a + 2001}{a+2003}{a+2006}{a+2012}

O primeiro vezes o segundo vezes o segundo pelo terceiro, logo depois encontrar um fator comum entre eles, lembra?

Não entendi o que foi feito aí. E pela sua mensagem anterior você também não entendeu o bizu. ;P