Produto notáveis ( difícil )

por Alex1347 Sáb 18 Fev 2017, 00:31

Dois números são tais que a soma de seus cubos é igual a 5 e a soma de seus quadrados é igual a 3. A soma destes números pode ser igual a ?
(A) = -1+V6
(B) = -1 + V5
(C) = -1+V3
(D) = -1+V2
(E) = 1

OBS: V = raíz de

por **gabrieldpb** Sáb 18 Fev 2017, 01:40

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

5=(a+b)(3-ab)

ab=3-\frac{5}{a+b}

Além disso

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

(a+b)^3=5+3(3-\frac{5}{a+b}))(a+b)

(a+b)^3=5+3(3(a+b)-5)

(a+b)^3-9(a+b)+10=0

Chamando a soma de x:

x^3-9x+10=0

Pelo Teorema das Raízes Racionais, se há raízes racionais, elas poderão ser: ± (1,2,5,10)

Testando 2, você vê que ele é raiz. Abaixando o grau por Briot-Ruffini, chegamos a equação do 2º grau:

x²+2x-5=0 cujas raízes são x=-1\pm \sqrt{6}

Logo x pode ser x=a+b=-1+ \sqrt{6}

Letra A.

Abraço!