(UESB 2017) Polinômio

por Lara000 Qui 16 Fev 2017, 22:41

Sabe-se que o número complexo i é uma das raízes do polinômio P(x)=2x⁴+3x³+3x²+3x+1. Somando-se os quadrados de todas as raízes desse polinômio, obtém-se como resultado:
01)3
02)1
03)0
04)-0,05
05)-0,75

Resposta: 05

Gostaria apenas da resolução...

por **Elcioschin** Qui 16 Fev 2017, 23:02

Se i é uma raiz, -i também é (raiz conjugada)

(x - i).(x + i) = x² + 1

Divida o polinômio original por x² + 1 e chegue num quociente do 2º grau.
Calcule as outras duas raízes deste quociente.

Calcule o que se pede

por **petras** Qui 16 Fev 2017, 23:34

Mestre não seria x²+1?

Por análise uma das raízes é -1

Fazendo P(x)=2x⁴+3x³+3x²+3x+1 por ((x+1) chegaremos a 2x³+x²+2x+1 = x²(2x+1) + (2x+1) = (2x+1)(x²+1)

Portanto P(x) = (x+1)(2x+1)(x²+1)

Raízes: -1, -1/2, i e -i

(-1)²+(-1/2)² +(i)²+(-i)² = 5/4-2 = -0,75

por **Elcioschin** Qui 16 Fev 2017, 23:38

Tens razão: é x² + 1
Já editei. Obrigado pelo alerta.

por Lara000 Ter 28 Fev 2017, 22:06

Elcioschin, eu fiz como você disse e deu certinho, vlw =)

por André Luís Malheiros Sex 02 Mar 2018, 18:25

Da forma como o petras respondeu, nem precisava que a questão informasse que uma das raízes era i. Muito bom. Very Happy

Mas, mestre Elcioschin, como poderíamos justificar matematicamente a sentença "toda vez que um número complexo for raiz de um polinômio, o seu conjugado também será"?

por **Elcioschin** Sex 02 Mar 2018, 18:54

Este é um teorema básico de Polinômios. Dê uma pesquisada a respeito.

por André Luís Malheiros Sex 02 Mar 2018, 18:59

ok, obrigado.

por **Elcioschin** Sex 02 Mar 2018, 19:01

Este é um teorema básico de Polinômios. Dê uma pesquisada a respeito.

O colega petras usou outro teorema: O teorema das raízes racionais:

Num polinômio, caso existam raízes racionais, elas serão dadas pela relação entre os divisores inteiros do termo independente e os divisores inteiros do coeficiente do termo de maior grau.

Termo independente = 1 ---> Divisores: ± 1

Coeficiente do termo de maior grau = 2 --> Divisores: ± 1 e ± 2

Prováveis raízes racionais: -1, +1, -1/2, +1/2

Comece testando -1 e +1. Depois teste -1/2 e + 1/2

por evandronunes Sex 02 Mar 2018, 20:25

Uma outra solução.

Seja a, b, c e d as raízes desse polinômio. Observe que:

(a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)

Ou seja,

a² + b² + c² + d² = (a + b + c + d)² - 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)

Pelas Relações de Girard, temos:

i) a + b + c + d = -3/2

ii) ab + ac + ad + bc + bd + cd = 3/2

Substituindo, vem:

a² + b² + c² + d² = (-3/2)² - 2(3/2)

a² + b² + c² + d² = 9/4 - 3

a² + b² + c² + d² = - 3/4

a² + b² + c² + d² = - 0,75

Obs: Não precisamos utilizar a informação que uma das raízes é i dessa forma.