Equações Logarítmicas - Contextualizadas - SP

46.302-(Vunesp) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:

- altura H(t) = 1 + ( 0 , 8 ) . log2 (t + 1)

- diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) . 2^(t/7) com H(t) e D(t) em metro e t em ano.

a)Determine as medidas aproximadas da altura, em metro, e do diâmetro do tronco, em centímetro, das árvores no momento em que são plantadas.

Gabarito: Altura = 1m e Diâmetro = 10cm

b)A altura de uma árvore é 3,4m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetro.

Gabarito: 20 cm

Boa noite.

Letra a:

Fazendo t = 0 em ambas as equações:

- Altura: \\ H(0) = 1 + 0,8 \cdot \log_2 1 = 1 \text{ m}
- Diâmetro: \\ D(0) = (0,1) \cdot 2^\frac{0}{7} = 0,1 \text{ m} = 10 \text{ cm}

Letra b:

Se a árvore tem 3,4m de altura, então:

\\ H(t) = 3,4 \therefore 1 + (0,8) \cdot \log_2(t+1) = 3,4 \therefore \frac{2,4}{0,8} = \log_2 (t+1) \therefore \\\\ 3 = \log_2 (t+1) \Leftrightarrow t = 2^3 - 1 = 7 \text{ anos }

Portanto, o diâmetro da árvore será:

\\ D(7) = (0,1) \cdot 2^\frac{7}{7} = 0,2 = 20 \text{ cm}

Abraço,
Pedro