Equação Logarítmica E - Troca de Base

por ismael1008,3 Sáb 11 Fev 2017, 21:18

42.302-e) log1,5 (x - 0,5) + log1,5 (x + 0,25) = log1,5 (x^2 - 1,75) + 1

Gabarito: 2

por PedroCunha Sáb 11 Fev 2017, 21:39

Olá, Ismael.

Condições de existência:

. x - 0,5 > 0 .:. x > 0,5
. x + 0,25 > 0 .:. x > -0,25
. x² - 1,75 > 0 .:. x < -√7/2 ou x > √7/2

Logo, C.E.: x > 0,5

Resolvendo:

\\ \log_{1,5} (x-0,5) + \log_{1,5} (x+0,25) = \log_{1,5} (x^2-1,75) + 1 \therefore \log_{1,5} \left[ (x-0,5) \cdot (x+0,25) \right] - \log_{1,5} (x^2-1,75) = 1 \\\\ \therefore \log_{1,5} \left[ \frac{x^2 - 0,25x - 0,125}{x^2-1,75} \right] = 1 \therefore x^2-0,25x-0,125 = 1,5x^2 - 2,625 \therefore -0,5x^2 - 0,25x + 2,5 = 0 \\\\ \therefore -2x^2 - x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{5}{2} \text{ ou } x = 2

A única solução que atende às condições de existência é x = 2.

Abraço,
Pedro

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