a área desse losango é igual a

por RamonLucas Seg 06 Fev 2017, 11:49

O ângulo interno A de um losango mede 60º e neste losango estão inscritas duas circunferências de raio r = 1 cm, tangentes uma à outra e aos lados do losango, conforme figura abaixo

Assim, a área desse losango é igual a:

a) $6\sqrt{2}cm^{2}$
b) $6\sqrt{3}cm^{2}$
c) 12 cm2
d) 8 cm2
e) $9\sqrt{2}cm^{2}$

Não possuo gabarito.

por **Elcioschin** Seg 06 Fev 2017, 13:19

Seja ABCD o losango com B o vértice direito: AB = BC = CD = DA = L
Sejam P, Q os pontos de tangência com AD e AB
Seja M o centro do losango e O o centro do círculo superior ---> MA = MC = D/2 ---> MB = MD = d/2
OM = PO = OQ = r = 1

AO.sen30º = r ---> AO.(1/2) = 1 ---> AO = 2
AO.cos30º = AP ---> 2.√3/2 = L/2 ---> L = 2.√3

BÂD = 60º ---> BÂO = DÂO = 30º
A^BM = A^DM = 15º

AM = AB.cos30º ---> D/2 = L.cos30º
BM = AB.sen30º ---> d/2 = L.sen30º

(D/2 - r)² = (L/2)² + r²

Basta resolver o sistema e calcular S = D.d/2

por Insight Seg 06 Fev 2017, 13:38

O losango é o quadrilátero que possui todos os lados iguais, logo o triângulo nos quais as circunferências estão inscritas é equilátero. Sabendo que as cevianas em um triângulo equilátero concorrem em um único ponto, sendo esse também o centro do círculo inscrito, a medida do raio da circunferência será 1/3 da medida da altura, pois corresponde ao segmento menor da mediana.

h= \frac{L\sqrt3}{2} \Rightarrow r= \frac {L\sqrt3}{6}

Como a medida de r foi dada:

1 = \frac{L\sqrt3}{6} \Rightarrow L=2\sqrt 3

Ora, o lado do triângulo corresponde a d, e a altura, que corresponde a D/2, é facilmente determinada pela fórmula acima. Como já sabemos a medida de L:

h =3 \Rightarrow D=6

Daí:

A = \frac{2\sqrt3 \cdot 6}{2} = 6\sqrt3