Um triângulo e um cubo - Geometria Espacial
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Um triângulo e um cubo - Geometria Espacial
por Agente Esteves Dom 03 Abr 2011, 18:16
Como não achei a área de geometria espacial no fórum e vi algumas perguntas de geometria espacial sendo feitas aqui, resolvi colocar a minha dúvida aqui também. Se eu estiver errada, por favor, corrijam-me e movam este tópico.
A dúvida:
Um cubo (ABCD - EFGH), cuja aresta mede 6 cm, encontra-se apoiado pela face ABCD em um plano horizontal. Considere o triângulo OBC, em que O é o centro da face EFGH.
Determine:
a área do triângulo OBC;
o cosseno do ângulo formado pela altura (OM) do triângulo OBC e sua projeção ortogonal (PM) sobre o plano da base ABCD
Se quiser, leia o quote. Ele não tem a resposta, mas tem umas observações minhas, inclusive a minha resolução do primeiro item.
Obrigada pela atenção! =D
A dúvida:
Um cubo (ABCD - EFGH), cuja aresta mede 6 cm, encontra-se apoiado pela face ABCD em um plano horizontal. Considere o triângulo OBC, em que O é o centro da face EFGH.
Determine:
a área do triângulo OBC;
o cosseno do ângulo formado pela altura (OM) do triângulo OBC e sua projeção ortogonal (PM) sobre o plano da base ABCD
Se quiser, leia o quote. Ele não tem a resposta, mas tem umas observações minhas, inclusive a minha resolução do primeiro item.
- Spoiler:
- Eu me aventurei a fazer duas coisas. A primeira, foi a ilustrar a questão, que por si só não tem imagem nenhuma.
E a segunda coisa foi resolver o item número um. Se tiver algum erro, por favor, me avisem, tudo bem? Vou resolver. =D
Se o ponto O está no centro da face EFGH (na figura não dá para ver muito bem isso, desculpa) então é porque este ponto é a interseção entre duas diagonais. Logo, ele corta ambas as diagonais da face ao meio. Pegue a aresta BF, metade da diagonal (6 * √2 = 6√2 / 2 = 3√2) que surge dela e a reta OB e você terá um triângulo retângulo. Pitágoras nele.
x² = (3√2)² + 6²
x² = 18 + 36 = 54
x = √54 = 3√6
Certo. Descobrimos um lado do triângulo, que é isósceles, logo o outro lado será do mesmo tamanho. Então só falta descobrirmos a altura do triângulo, marcada com a cor azul na figura. A reta OB foi a que descobrimos. Podemos usar a reta BM para completar o triângulo com a altura. Essa reta BM é a metade da aresta, pois assim como O está no centro da face, M está no centro da aresta.
(3√6)² = h² + 3²
54 = h² + 9
h² = 45
h = √45 = 3√5
Agora, a área do triângulo.
Área = (b * h) / 2
Área = (6 * 3√5) / 2
Área = 18√5 / 2
Área = 9√5 cm²
Olhe, eu consegui resolver a primeira, só queria saber se estava certa. A segunda é que eu não consigo responder de jeito nenhum. Obrigada pela atenção e por ler este spoiler. =D
Obrigada pela atenção! =D
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Re: Um triângulo e um cubo - Geometria Espacial
por Elcioschin Dom 03 Abr 2011, 18:55
Sejam:
M = ponto médio de BC
P = centro da base ABCD
BC = 6 ----> Base do triângulo OBC
OM = H = altura do triângulo OBC
No triângulo retângulo OPM -----> OM² = OP² + PM² ----> H² = 6² + 3³ ----> H = 3*\/5
a) S = BC*H/2 ----> S = 6*(3*\/5)/2 ----> S = 9*\/5
b) cosO^MP = PM/OM = 3/3*\/5 = \/5/5
M = ponto médio de BC
P = centro da base ABCD
BC = 6 ----> Base do triângulo OBC
OM = H = altura do triângulo OBC
No triângulo retângulo OPM -----> OM² = OP² + PM² ----> H² = 6² + 3³ ----> H = 3*\/5
a) S = BC*H/2 ----> S = 6*(3*\/5)/2 ----> S = 9*\/5
b) cosO^MP = PM/OM = 3/3*\/5 = \/5/5
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Um triângulo e um cubo - Geometria Espacial
por Agente Esteves Dom 03 Abr 2011, 18:56
Muito obrigada, Mestre Elcioschin! =D
Agora que eu vi que eu havia lido errado o enunciado dois, por isso não sabia fazer. XDD
Um beijo. =*
Agora que eu vi que eu havia lido errado o enunciado dois, por isso não sabia fazer. XDD
Um beijo. =*
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Re: Um triângulo e um cubo - Geometria Espacial
por Euclides Dom 03 Abr 2011, 19:07
Olá Agente Esteves, você deve ser de um serviço secreto de elite. Sua dúvida está colocada com muita organização e clareza.
veja que é muito fácil encontrar a altura de OBC como a hipotenusa do triângulo rosado:
o cosseno do ângulo será
=\frac{3}{3\sqrt{5}}\rightarrow cos(\theta)=\frac{\sqrt{5}}{5} "\dpi{120} cos(\theta)=\frac{3}{3\sqrt{5}}\rightarrow cos(\theta)=\frac{\sqrt{5}}{5}")
veja que é muito fácil encontrar a altura de OBC como a hipotenusa do triângulo rosado:
o cosseno do ângulo será
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
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