matrizes e determinantes

Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, durante vários meses, um levantamento para determinar a preferência dos consumidores em relação a duas marcas de detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-se, inicialmente, que, entre 200 pessoas pesquisadas, 120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no levantamento inicial, a equipe compilou a seguinte estatística:

a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% mudaram para a marca 2; b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% mudaram para a marca I. Esses resultados podem ser expressos pela matriz 
 , em que pij, 1 ≤ i, j ≤ 2, representa a probabilidade do consumidor da marca j consumir a marca i após um mês, supondo-se que tais probabilidades sejam mantidas constantes de um mês para o outro. Dessa forma, obtém-se a fórmula de recorrência Xk + 1 = PXk , k ≥ 0, em que  = 
 representa a distribuição, no mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada detergente pesquisados; ak e bk representam os percentuais de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no referido período. Com base nessas informações, julgue os itens


1. A probabilidade de um consumidor do detergente da marca 1 comprar o da marca 2 ao final do 2º mês é superior a 50%.

2. Dada uma matriz quadrada A, define-se o traço de A, simbolizado por tr(A), como a soma dos elementos de sua diagonal principal. A partir dessas informações e considerando as matrizes 

 
determine o valor do quociente det R/ tr R em que det(R) é o determinante da matriz R. Para a marcação no Caderno de Respostas, despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após ter efetuado todos os cálculos solicitados.


E 033

Segue resolução que encontrei na net, espero que lhe ajude:
1) A probabilidade de um consumidor do detergente da marca 1 comprar o da marca 2 ao final do 2º mês, corresponde ao elemento p₂₁ da matriz p².

p²=\left[ \begin{array}{rrcccrr}0.7 && 0.2 \\ 0.3 && 0.8\end{array} \right].\left[ \begin{array}{rrcccrr}0.7 && 0.2 \\ 0.3 && 0.8\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{rrcccrr}0.55 && 0.30 \\ 0.45 && 0.70\end{array} \right]

Portanto p₂₁ = 0.45 = 45% < 50%

2) Sendo Qˉ¹ a inversa de Q:

\left[ \begin{array}{rrcccrr}a && b \\ c && d\end{array} \right].\left[ \begin{array}{rrcccrr}2 && -1 \\ 3 && 1\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{rrcccrr}1 && 0 \\ 0 && 1\end{array} \right]

\begin{cases}2a+3b=1 \\-a+b=0 \\\end{cases}

Resolvendo teremos a = 1/2 e b = 1/5

\begin{cases}2c+3d=0 \\-c+d=1 \\\end{cases}

Resolvendo teremos c = -3/5 e d = 2/5

Portanto Qˉ¹ = \left[ \begin{array}{rrcccrr}1/5 && 1/5 \\ -3/5 && 2/5\end{array} \right]

R = 100. \left[ \begin{array}{rrcccrr}1/5 && 1/5 \\ -3/5 && 2/5\end{array} \right].\left[ \begin{array}{rrcccrr}0.7 && 0.2 \\ 0.3 && 0.8\end{array} \right].\left[ \begin{array}{rrcccrr}2 && -1 \\ 3 && 1\end{array} \right]


R = 100. \left[ \begin{array}{rrcccrr}0.2 && 0.2 \\ -0.3 && 0.2\end{array} \right].\left[ \begin{array}{rrcccrr}2 && -1 \\ 3 && 1\end{array} \right]=100\left[ \begin{array}{rrcccrr}1 && 0 \\ 0 && 0.5\end{array} \right]

Portanto R = \left[ \begin{array}{rrcccrr}100 && 0 \\ 0 && 50\end{array} \right]

\frac{DET(R)}{tr(R)}=\frac{100.50}{150}=\frac{100}{3}

\frac{DET(R)}{tr(R)}\approx 33.3 despreza-se a parte fracionária → \\ \ \\\\ \boxed{\mathsf{ R=033 }}

Não entendi muito bem o item 1, e o desenvolvimento do 2...

Na questão 2 ele precisa encontrar o valor de Det (R)/tr(R).
Como R = 100 . Qˉ¹.P.Q temos P, Q e falta Qˉ¹.

Qˉ¹ = matriz inversa de Q.

Sabemos que multiplicando uma matriz pela sua inversa obtemos uma matriz identidade.

Como não sabemos os valores da matriz inversa, coloque elementos qualquer (a, b, c, d) e após a multiplicação resolvendo o sistema encontramos os valore dos elementos.

Agora que descobrimos Qˉ¹ realizamos as operações e encontraremos R e depois seu determinante.

Agora dividimos o valor do determinante pela soma dos valore da diagonal principal de R (tr(R)) e desprezamos a parte fracionária deste valor.



Na questão 1 conforme menciona o enunciado, na matriz P, na posição 21, está a probabilidade de 1 comprar 2 NO PRIMEIRO MÊS. Para achar no segundo mês, como as probabilidades se mantiveram constantes (segundo o enunciado), multiplica-se P.P e teremos na posição 21 desta matriz resultante a probabilidade de 1 comprar 2 no segundo mês.