Provar número

Mostre que o número   é múltiplo de  para todo natural .

o resto na divisão de 1^n por 10 é sempre 1.

observe que

1\equiv 1 mod (10)
1^n\equiv 1 mod (10)


os restos na divisão de 8^n por 10 são sempre\{6,8,4,2\} nessa ordem de forma cíclica.

Observe da n pode ser escrito da forma n=4k, n=4k+1, n= 4k+2 ou n=4k+3

então

8\equiv (-2) mod (10)

8^4\equiv (-2)^4=16 \equiv 6 mod (10)
(8^4)^k\equiv 6^k\equiv 6 mod (10)
8^{4k}\equiv 6 mod (10)

8^{4k}\cdot 8\equiv 6\cdot8=48 \equiv 8 mod (10)
8^{4k+1}\equiv 8 mod (10)

8^{4k+1}\cdot 8 \equiv 8\cdot 8 = 64 \equiv 4 mod (10)
8^{4k+2}\equiv 4 mod (10)


8^{4k+2}\cdot 8 \equiv 4\cdot 8 = 32 \equiv 2 mod (10)
8^{4k+3}\equiv 2 mod (10)

os restos na divisão de 3^n por 10 são sempre\{1,3,9,7\} nessa ordem de forma cíclica.

Observe da n pode ser escrito da forma n=4k, n=4k+1, n= 4k+2 ou n=4k+3

então

3\equiv 3 mod (10)

3^4=81\equiv 1 mod (10)
(3^4)^k\equiv 1^k=1\equiv 1 mod (10)
3^{4k}\equiv 1 mod (10)

3^{4k}\cdot 3\equiv 1\cdot3=3  mod (10)
3^{4k+1}\equiv 3 mod (10)

3^{4k+1}\cdot 3 \equiv 3\cdot 3 = 9 mod (10)
3^{4k+2}\equiv 9 mod (10)


3^{4k+2}\cdot 3 \equiv 9\cdot 3 = 27 \equiv 7 mod (10)
3^{4k+3}\equiv 7 mod (10)

e o resto na divisão de 6^n por 10 é sempre 6

observe que

observe que

6\equiv 6 mod (10)
6^n\equiv 6 mod (10)

então

os restos na divisão de (1^n+8^n) por 10 são sempre\{7,9,5,3\} nessa ordem de forma cíclica  pois

1^{4k}+8^{4k}=1+6 \equiv 7 mod (10)

1^{4k+1}+8^{4k+1}=1+8 \equiv 9 mod (10)

1^{4k+2}+8^{4k+2}=1+4 \equiv 5 mod (10)

1^{4k+3}+8^{4k+3}=1+2 \equiv 3 mod (10)


e os restos na divisão de (3^n+6^n) por 10 também será sempre\{7,9,5,3\} nessa ordem de forma cíclica, pois.


3^{4k}+6^{4k}=1+6 \equiv 7 mod (10)

3^{4k+1}+6^{4k+1}=3+6 \equiv 9 mod (10)

3^{4k+2}+6^{4k+2}=9+6=15 \equiv 5 mod (10)

3^{4k+3}+6^{4k+3}=7+6=13 \equiv 3 mod (10)

assim

os restos na divisão de (1^n+8^n)-(3^n+6^n) por 10 será sempre\{0\}

pois


(1^{4k}+8^{4k})-(3^{4k}+6^{4k})\equiv 7-7=0 mod (10)

(1^{4k+1}+8^{4k+1})-(3^{4k+1}+6^{4k+1})\equiv 9-9=0 mod (10)

(1^{4k+2}+8^{4k+2})-(3^{4k+2}+6^{4k+2})\equiv 5-5=0 mod (10)

(1^{4k+3}+8^{4k+3})-(3^{4k+3}+6^{4k+3})\equiv 3-3=0 mod (10)


1^n+8^n-3^n-6^n)\equiv 0 mod (10)


 ou seja, 1^n+8^n-3^n-6^n sempre será divisível por 10