Polinômio

(EPUSP-50) Determinar p pertence R e q pertence R de modo que x^4 +1 seja divisível por x^2 +px + q.
Resposta: p = mais ou menos V2. q = 1.

Basta dividir um polinômio pelo outro e igualar as duas parcelas do resto a zero. Use o Método da chave:

x⁴ + 0.x³ + 0.x² + 0.x + 1 |x² + p.x + q

Mas na minha equação o resto deu um número com x, x^2, p^2, p, q:
x^2 -PX + (P^2-Q)
---------------------
Confundi resto com quociente aqui. 

Não entendi.
Mostre a sua solução completa, completando a chave acima.
Acho que existe erro no enunciado ou no gabarito; por favor confira diretamente no site da EPUSP (livros/apostilas costuma ter erros)

Consegui!
Não fiz apenas a divisão pelo método da chave. Tive que utilizar o método (acho que é dele) de Descartes.
Como o grau de q é 2 (pois 4-2), então: q=ax^2+bx+c.
qg=f => (ax^2+bx+c)(x^2 +px + q)=x^4 + 1
Arrumando temos:
ax^4 + (ap+b)x^3 + (aq+bp+c)x^2 + (cp + bp)x + cp = x^4 + 1
Diante disto, temos:
a=1.        p + b = 0.        q+bp+c=0.         bp + cp = 0.         cq=1.


Pelo método da chave temos o quociente x^2 - px + (p^2 -q).
Assim c = (p^2 -q) 
O resto calculado é px(2q-p^2) -q(p^2 - q) + 1=0 
Substituindo (p^2 -q):
px(2q-p^2) -qc + 1=0       Mas cq = 1, então o resto é px(2q-p^2)=0.

2q=p^2. => q=(p^2)/2.
 Usando cq=1:
((p^2)/2)(p^2 -q)=1    =>p^4 - (p^2)q - 2=0.

Resolvendo essa equação obtemos q+- V(q^2 + 8 ) = 2p^2.
q+- V(q^2 + 8 ) = 4q   =>  3q =  +- V(q^2 + 8 )

9q^2 = q^2 + 8   =>   q = 1.
q=(p^2)/2   => 2 = p^2   => p = +- V2.


O q é apenas 1 e não -1 também, pois usando aquelas fórmulas daria um absurdo, como:  
p^2 = q + 1. Se fosse -1 daria um absurdo.


Ufa!!!!