Trigonometria

por Milly Qui 08 Set 2016, 10:48

Prove a desigualdade :Senx.Sen2x.Sen3x<3/4

por Daniel Rocha 2 Qui 08 Set 2016, 19:02

Vamos primeiramente aplicar as propriedades de transformação em relação ao lado esquerdo da inequação:

Multiplicando o numerador e o denominador por -2 temos o seguinte:
\frac{-2.\sin(x).\sin(2x).\sin(3x)}{-2} ==> \frac{(\cos(3x)-\cos(x)).\sin(3x)}{-2} ==>

==> \frac{(\cos(3x).\sin(3x))-(\cos(x).\sin(3x))}{-2}

Multiplicando por 2 o numerador e o denominador temos:
\frac{(2.\cos(3x).\sin(3x))-(2.\cos(x).\sin(3x))}{-4}

Resultando então na expressão:
\frac{-(\sin(6x)-\sin(4x)-\sin(2x))}{4}

Analisando x no intervalo [0,\frac{\pi}{2}] temos que o maior valor que a expressão acima pode alcançar é \frac{2}{4} quando x = 45°.

E obviamente \frac{2}{4}<\frac{3}{4}

Eu creio que essa seja uma boa forma de demonstrar a veracidade da desigualdade mostrada.
De qualquer maneira eu vou ficar aguardando a demonstração de outros colegas.

por Milly Qui 08 Set 2016, 21:32

Gostei! Muito obrigada! Mas por que você multiplicou a primeira equação por -2? qual foi sua intuição ao fazer isso? pois fui me guiando pela sua resolução e não multipliquei e acabei achando resultado 2<3 que é proporcional ao seu.

por Daniel Rocha 2 Sáb 10 Set 2016, 17:59

Olá Milly,

Eu, primeiramente, multipliquei por -2 no numerador e no denominador da multiplicação de senos, pois de acordo com as propriedades de transformação em produto da Trigonometria:

-2.\sin(\frac{p+q}{2}).\sin(\frac{p-q}{2}) = \cos(p) - \cos(q)

Assim:

-2.\sin(x).\sin(2x) = \cos(3x) - \cos(x)

Depois, eu multipliquei novamente por 2 em cima e em baixo da fração obtida para poder aplicar outras propriedades tais como:

2.\sin(\frac{p+q}{2}).\cos(\frac{p-q}{2}) = \sin(p) + \sin(q)

e

2.\sin(w).\cos(w) = \sin(2w)

Veja que:

2.\sin(3x).\cos(x) = \sin(4x) + \sin(2x) e 2.\sin(3x).\cos(3x) = \sin(6x)

O objetivo era transformar o produto de senos em adição ou subtração de senos ou cossenos.