Mackenzie

A expressão 

y=cos20+cos40+cos60+...+cos180 vale:

Resp. -1

Cossenos de ângulos suplementares tem sinais opostos:

cos20º + cos160º = 0
cos40º + cos140o = 0
cos60º + cos120º = 0
cos80º + cos100º = 0
cos180º ............. = -1
--------------------------
.......................y = -1

obs: Essa é uma forma alternada utilizando complexos para a questão, mas certamente identificar que os ângulos são suplementares era a saída mais prática...

Chama de B o complexo cis20 e soma.Portanto, temos: cis20+cis40+cis60+...+cis180
Utilizando a primeira lei de De Moivre ( (cis20)²=cis40) : cis20 +(cis20)²+(cis20)³...=B+B²+B³+...+B^9
que é uma soma de P.G.(a1.(q^n-1 - 1)/q-1).
B+B²+B³+B^9=B.(B^8 -1)/B-1=cis20.(cis160-1)/cis20-1--->(cis20.cis160-cis20)/cis20-1 --->(cis180-cis20)/cis20-1--->(1-cis20)/cis20-1 como queremos só a parte real(cos20) --->(1-cos20)/cos20-1 que é -1

Perfeito Havock

É sempre bom ter-se outras maneiras de resolver uma questão.
E sua solução mostra a importância de Números Complexos na Matemática: um problema de Trigonometria resolvido por Números Complexos.
Muitos estudantes do Ensino Médio questionam o estudo de números complexos, afirmando que esta matéria não serve para nada: como pode algo "impossível" como o imaginário √(-1) servir para alguma coisa?
Mal sabem eles da importância do assunto, por exemplo na Física - Eletricidade. Sem eles toda a teoria sobre campos elétricos e magnéticos não existiria (posso afirmar isto com absoluta certeza, pois sou Engenheiro Eletricista)