(CEDERJ/UFF) Geometria Espacial

A projeção ortogonal de um quadrado de área 32 cm²  e um losango de diagonais (perpendiculares) de 4cm e de 8cm. Qual o ângulo entre o plano do quadrado e o plano de projeção?

quadrado -----> S = 32 ----> lado L = 4√2 ----> diagonal a = 8

losango ----> D = 8 e d = 4.

A diagonal do quadrado que gera a diagonal maior do losango não sofre encolhimento pois que D=a. Então essa diagonal do quadrado está paralela ao plano da projeção ortogonal.

Porém a outra diagonal do quadrado gera a diagonal menor (d) e sofre encolhimento. Logo o quadrado está inclinado em relação ao plano de projeção no sentido desta diagonal.

Assim, o ângulo φ entre os planos é dado por:

cosφ = d/a = 4/8 = 1/2 -----> φ = 60°

Obrigado.

gostaria de ver a figura.

Renan

Melhor do que desenhar aqui é fazer a experiência real você mesmo:

Corte um quadrado ABCD numa folha de papel e desenhe as diagonais AC = BD = 8

Apoie o vértice A em numa mesa (horizontal), mantendo a diagonal BD paralela à mesa. Incline a diagonal AC até formar um ângulo de 60º com a mesa.

Note que a diagonal BD continua paralela à mesa; a projeção dela na mesa é a diagonal maior do losango: B'D' = BD = 8

E a projeção AC' da diagonal AC vale AC' = 4 ---> diagonal menor do losango.

Oi boa noite. Nesse outro post aqui https://pir2.forumeiros.com/t105732-projecao-ortogonal é feita a seguinte questão:

"A projeção ortogonal de um losango pode formar um quadrado ? e o inverso ?
resposta
1) Sim um losango projetado pode formar um o quadrado
2) O inverso não.

Para provar 1 é necessário fazer um belo desenho em 3D com as dimensões envolvidas (diagonais D, d do losango).

Para ver é fácil: desenhe um losango qualquer num papel e recorte.
Segure-o próximo ao chão do seu quaro, exatamente abaixo da luz no teto.
Vá inclinando aos poucos e verá, para um certo ângulo a sombra é um quadrado

Faça o mesmo com um quadrado de papel e verá que não conseguirá obter um losango. Obterá um quadrilátero com dois lados sucessivos iguais a x e os outros dois iguais a y, com x ≠ y"

                     É dito que um quadrado não pode projetar um losango. mas neste problema, a hipótese é de que um quadrado projeta um losango, a qual não fosse verdadeira não seria possível a solução do mesmo. Afinal O quadrado poderia então projetar um losango?

Luis Eduardo

1) você leu até o fim as respostas ao problema do link que referiste? Acho que não, pois a questão ficou esgotada, sem controvérsias.

2) quando ao fim da sua primeira exposição o Élcio diz:
"faça o mesmo com um quadrado de papel e verá que não conseguirá obter um losango. Obterá um quadrilátero com dois lados sucessivos iguais a x e os outros dois iguais a y, com x ≠ y",
não podemos olvidar o contexto em que isto foi dito, qual seja, imediatamente acima ele estava a sugerir uma experiência com a sombra que um recorte em papel projeta sobre a mesa devido à luz do teto.

Evidente que a figura assim obtida não será losango pois as distâncias são pequenas e isto provoca distorções porque: (a) não há perpendicularidade de todos os pontos do objeto com sua sombra; (b) a parte do objeto mais próxima à mesa está mais longe da luz e vice-versa, tem sua sombra mais nítida e menos deformada (além da franja de penumbra que torna o contorno impreciso); (c) há, também, deformação angular. Numa projeção ortogonal é como se tivéssemos a fonte de luz no infinito e nenhuma imprecisão de contorno.

Este fato abordo, também, no último parágrafo da minha resposta no citado link.

Ah sim, perdão. Agora vi o final. Minha dúvida foi esclarecida, muito obrigado.