projeção ortogonal

a projeção ortogonal de um losango pode formar um quadrado ? e o inverso ?

1) Sim um losango projetado pode formar um o quadrado
2) O inverso não.

Para provar 1 é necessário fazer um belo desenho em 3D com as dimensões envolvidas (diagonais D, d do losango).

Para ver é fácil: desenhe um losango qualquer num papel e recorte.
Segure-o próximo ao chão do seu quaro, exatamente abaixo da luz no teto.
Vá inclinando aos poucos e verá, para um certo ângulo a sombra é um quadrado

Faça o mesmo com um quadrado de papel e verá que não conseguirá obter um losango. Obterá um quadrilátero com dois lados sucessivos iguais a x e os outros dois iguais a y, com x ≠ y

Boa noite!

Professor Elcio... caso façamos a rotação de um quadrado por uma de suas diagonais (mantendo-a paralela com relação ao plano a ser projetado) a projeção não seria um losango?

Abraços!!

Bautuilhe

Originalmente eu tinha feito o teste girando o quadrado em torno de um dos lados: a figura era sempre um retângulo e, quando o ângulo de giro é 90º é um segmento de reta.

Entretanto, a figura é bem difícil de fazer, girando através de uma diagonal. Aparentemente parece que dá certo, mas, o importante é provar.

Quem poderia nos ajudar é o Medeiros, que tem uma excelente visão espacial e faz desenhos muito bons. E ainda pode ajudar com os cálculos. Como estarei viajando na 5ª e só volto na 4ª, estou com pouco tempo disponível.

O Élcio quer me quebrar as pernas! Tal desenho, com sombra em perspectiva, está muito acima da minha capacidade.

Mas entendo que tanto o losango pode fornecer uma sombra quadrada, como o objeto quadrado pode dar uma sombra em losango. No primeiro caso, basta que a maior diagonal do objeto losango tenha sua sombra encolhida até o tamanho da menor diagonal, que não deve encolher; as duas ficam iguais e a sombra resulta um quadrado. Consegue-se isso tomando a diagonal menor como eixo sobre o qual giramos adequadamente o losango. As diagonais do quadrado terão a dimensão máxima da menor diagonal do losango.

No segundo caso, o inverso, é a diagonal do quadrado que define a maior diagonal do losango. Porque giramos o quadrado por uma diagonal e a outra ficará "encolhida" na sombra. Tentei fazer um desenho desta situação.



Na verdade, o desenho ainda tem um erro: a vista de topo foi feita no plano do quadrado (e não o do chão, como seria o correto), desta forma a iluminação não está perpendicular ao plano mas vem de cima um pouco à direita.
De qualquer forma, uma fonte de luz puntiforme vai nos dar problemas de deformação na imagem. Na projeção ortogonal a imagem é perfeita.

Caro Medeiros

Suas pernas devem de ser de aço ou de fibra de carbono, meu amigo: sequer sofreram um arranhão ou flambagem. Você poderia se inscrever para disputar as para-olimpíadas deste ano !!!

E os desenhos (embora toscos, kkkkk), aliados às excelentes explicações, mostram algo muito importante: a representação de um sólido através de 3 perspectivas: uma visão lateral, uma visão frontal e uma visão de topo (planta baixa). Isto é algo pouco conhecido: estuda-se Desenho Técnico nas faculdades e em cursos técnicos.

Boa noite. A respeito da questão, se o quadrado estiver num plano a paralelo a b, então ele projetará um quadrado. Mas todo quadrado é um losango, logo ele projeta um losango. Outrossim, ainda que girando sobre uma das diagonais D, creio que o quadrado preserva a congruência entre os lados, sendo alterado o valor apenas da diagonal d perpendicular em relação a D. Embora os lados mudem de tamanho em relação ao quadrado original, eles não mudam de tamanho entre si.