Quadrado inscrito

é um quadrado inscrito num círculo de centro e um ponto do menor arco .Sabendo-se que intercepta em e que intercepta em e em , determine o ângulo .

a) 45º
b) 30º
c) 60º
d) 67º30'
e) 15º

Olá, Marcos

Não é elegante, mas, talvez, seja essa a resposta:

Como a questão não informa o lugar de P, colocamos ele em linha com o diametro, sendo o ponto médio do lado do quadrado.

Angulo KPL = 45°, pois um angulo inscrito na circunferência é a metade da medida do arco. Como o quadrado está inscrito, então divide a circunferência em 4 partes de 90°, logo o arco BC=90°, e KPL=45°.

KPL = 45°. Como o triangulo PKL é isósceles--> ângulos PKL e PLK são iguais. 45 + 2x = 180 --> x= 67,5°

Como o angulo KLJ é o suplementar do angulo PLK, então KLJ=180-67,5-->KLJ=112,5°

Como angulo DLJ é oposto pelo vértice de PLK, então DLJ = PLK = 67,5°. Como o angulo LDJ é diagonal do quadrado, seu angulo é de 45°. Como LDJ + DLJ + DJL = 180 --> 45+67,5+DJL=180--> DJL=67,5.

Como o arco AD possui 90°, e o ponto P está no meio, então o ponto P secciona o arco AD em duas partes iguais, isto é, 45° e 45°, logo o arco DP = 45°. O que, pela lei do angulo inscrito na circunferência, implica que o angulo PCL = 22,5°.

Considerando R=1, e sabendo que o "apótema","a", de um quadrado inscrito na circunferência = R*(\/2)/2, e que a medida T do lado do quadrado = 2a. Então DC= T = 2a = R*\/2
Logo:
DC=\/2u.c.

SENx =N/D
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Numerador:

sen112,5=0,92387953251128675612818318939679
\/2=1,4142135623730950488016887242097


N=0,22417076458398255905719676269343

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Denominador:

sen67,5=0,92387953251128675612818318939679
LK=0,24264068711928514640506617262824
LK²=0,058874503045718828759470618966832
LJ=0,4483415291679651181143935253892
LJ²=0,20101012677666931677635786106457
cos112,5=-0,3826834323650897717284599840304

D=0,58578643762690495119831127578842

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SENx =N/D = 0,38268343236508977172845998403121

x=22,50000000000000000000000000005
x~22,5

x= angulo KJL ~ 22,5°

Triangulo KLJ
KLJ + KJL + LKJ = 180°

KLJ = 112,5
KJL ~ 22,5°

Logo,
LKJ = 45°