Nº binomial

Olá ,

(n+1)!/(n-p+1)!(p)! - (n-1)!/(n-p+1)!(p-2)!

Na primeira parte da diferença desenvolvendo (n+1)! Para (n+1)n(n-1)! e na segunda parcela multiplicando e dividindo por (p-1).p, temos :

(n+1)n(n-1)!/(n-p+1)!(p)! - (n-1)!p(p-1)/(n-p+1)!(p)!

Fatorando a diferença , temos :

(n-1)!/(n-p+1)!(p)![(n+1)n - (p)(p-1)]

Agora desenvolvendo (n-p+1)!-->(n-p+1)(n-p)!
E (p)!-->p(p-1)!

Teremos então :

(n-1)!/(n-p)!.(p-1)![n^2+n-p^2+p]/(n-p+1)(p)

Desenvolvendo somente o que está dentro dos [  ] :

n^2-p^2+(n+p)--> (n-p)(n+p)+(n+p)--->(n+p)(n-p+1).

Repare que (n-p+1) irá cortar com o termo que está dividindo , sobrando apenas :

(n+p)/p.

Caso substitua na expressão inteira , teremos o valor pedido.