achar número primo

Ache um número primo p, tal que p x 2^6 seja um número perfeito.

Daniele dd escreveu:Ache um número primo p, tal que p x 2^6 seja um número perfeito.

Boa tarde, Daniele.

Menor número perfeito é o 6.
Divisores de 6 = 1, 2, 3, 6.

Em Matemática, um número perfeito é um número inteiro para o qual a soma de todos os seus divisores positivos próprios (excluindo ele mesmo) é igual ao próprio número . Por exemplo, o número 28 é , pois: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

A soma dos divisores positivos de um número perfeito P é,  igual a 2P.

A soma dos divisores positivos de um número natural é calculada segundo as fórmulas constantes do site cujo link segue abaixo:

http://interna.coceducacao.com.br/ebook/pages/1611.htm

N = 2⁶ * p^x

Como p deve ser primo, fica:
N = 2⁶ * p¹

Soma das potências de 2⁶ = 1+2+4+8+16+32+64 = 127.
Soma das potências de p¹ = 1+p = p+1

Sendo a soma de todos os divisores de N é igual ao produto das somas acima, vem:
Soma dos divisores de N = 127 * (p+1)

Como desejamos saber a soma de todos os divisores de N, exceto o último (=64p), fica:
127(p+1) - 64p = 64p
127p + 127 - 64p = 64p
63p + 127 = 64p
64p – 63p = 127
p = 127

E o número perfeito deverá ser:
N = 127 * 2⁶ = 127 * 64
N = 8128

Link para conferir:

https://sites.google.com/site/susananumespeciais/numerosperfeitos


Um modo mais simples:

https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_perfeito

2ⁿ–1 é um número primo.
Então a fórmula 2ⁿˉ¹(2ⁿ–1) é um número perfeito.

Na presente questão é fornecido 2⁶, o qual corresponde à 1ª parte da fórmula acima:
2⁶ = 2ⁿˉ¹
6 = n-1
n = 6+1
n = 7

Assim, a 2ª parte corresponde ao número primo p que estamos procurando:
2ⁿ–1 = 2⁷–1 = 128–1 = 127







Um abraço.

Obrigada!