(OCM 1994) Divisibilidade

por John von Neumann jr Qui 14 Jul 2016, 23:56

Seja A = 777 . . . 77 um número onde o dígito ”7” aparece 1001
vezes. Determinar o quociente e o resto da divisão de A por 1001.

Dica: [img] (OCM 1994) Divisibilidade 29n6u4i

[/img]

por Pedro Prado Dom 17 Jul 2016, 17:58

Decompondo o número:

$77777...777=7(10^{1000}+10^{999}+10^{998}+...+10^2+10^1+10^0)$

Vamos efetuar a soma dessa PG

$\\Spg=\frac{a1(q^n-1)}{q-1}\therefore 10^{1000}+10^{999}+10^{998}+...+10^2+10^1+10^0=\frac{10^{1001}-1}{9}\\$

Do teorema de Fermat:
(se você não conhece veja:https://www.youtube.com/watch?v=aXAMQ8ASEhI (é muito útil))

$10^{1001}\equiv 10\;\text{mod}(1001)$

Então, $\frac{10^{1001}-1}{9}\equiv \frac{10-1}{9}=1 \;\text{mod}\;(1001)$

E, portanto

$\boxed{77777...777\equiv 7\;\text{mod}\;1001}$

Creio ser isso

Amigo, não estou estudando mais para olimpíadas de matemática, no entanto, as vezes um conhecimento sobre vários assuntos ajuda a resolver questões de maneira mais fácil, sem precisar de uma sacada genial.

por Pedro Prado Dom 17 Jul 2016, 17:59

Ops, ele pediu o quociente kkkkkkk que burrice a minha, vou tentar continuar.

por muriloogps Dom 17 Jul 2016, 19:00

É só ir dividindo que você acha um padrão.
O quociente vai ser 777000777000...777000 (o padrão 777000 vai se se repetir 100 vezes [porque divide e envolve 10 dígitos] até sobrar só o 1001º 7 que vai ser o resto).