Losango e diagonal

Um losango é inscrito num triângulo ABC da seguinte maneira: A é um de seus vértices, e dois de seus lados estão sobre os lados AB e AC do triângulo. Se AC=6m, AB=12m e BC=8m, calcule a diagonal do losango.

Resp: 2raiz14/3m e 2raiz130/3 m.

Desenhe o triângulo ABC, com as dimensões dadas e A^CB ~= 117º e base AB

Sejam pontos M e N de AC e BC, tais que a reta MN seja paralela a AB e AM = MN = x (lado do losango)

Por N trace uma paralela a AC, que encontra AB em P ---> AP = NP = x

Trace as diagonais AN e MP que se cruzam em O ---> OA = ON = D/2 e OM = OP = d/2

CM = 6 - x ---> CN = y

CM/MN = AC/AB ---> (6 - x)/x = 6/12 ---> x = 4 ---> BP = 8

CN/MN = BC/AB ---> y/x = 8/12 ---> y = 8/3 ---> BN = 16/3

Lei dos cossenos em ABC: 8² = 6² + 12² - 2.6.12.cos ---> cos = 29/36

MÂN = Â/2 ---> cos = 2.cos²(Â/2) - 1 ---> 29/36 = 2.cos²(Â/2) - 1 ---> cos(Â/2) = √130/12

cos(Â/2) = OA/AM ---> √130/12 = (D/2)/4 ---> D = 2.√130/3

Calcule d de modo similar, usando sen(Â/2)