(FUVEST-SP) - apertos de mãos de mulheres

por Paulo Testoni Qui 10 Fev 2011, 19:58

(FUVEST-SP) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem.Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?
a) 15
b) 27
c) 17
d) 19

por Bruno Barreto Sáb 26 Fev 2011, 21:25

Solução net :
Sendo x o número de mulheres presentes, o número de homens é 37-x.
Logo, a quantidade de pares formados por 2 homens é (37-x)!/(2!*(37-x-2)!) e a quantidade de pares formados por 1 homem e 1 mulher é (37-x)*x.

Portanto, considerando o total de apertos de mão:
2*(nº de pares com 2 H) + 1*(nº de pares com 1 H e 1 M) = 720
2*(37-x)!/(2!*(37-x-2)!) + (37-x)*x = 720
(37-x)*(36-x) + (37-x)*x = 720
(37-x)*(36-x+x) = 720
37-x = 20
x = 17

Então tinha 17 mulheres.

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